Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике

У студентов одного курса факультета инновационных исследований в среднем 17,55 однокурсниц. Сколько на этом курсе девушек?

Рассеянный Ученый пишет статью о девяти горных вершинах Анчурии для Большой Анчурийской энциклопедии. Он уже собрал некоторые данные и занес их в таблицу.
Табл. Горные вершины Анчурии

№	Горная вершина	№	Горная вершина	№	Горная вершина
1	Пик Оливарры	4	Этвуд	7	Пик Доусона
2	Пик Гудвина	5	Пик Мирафлореса	8	Блайт-Вельзевул
3	Кьоу	6	Монте-Паса	9	Каррера
Макс. высота	2750 м	Мин. высота	720 м	Средняя высота	1811 м
Медиана высот	1950 м

Ученый хотел составить диаграмму высот вершин, но по рассеянности несколько раз ошибся. В результате у него четыре диаграммы, одна из них правильная, но он совершенно запутался и не знает какая. Найдите высоту горы Этвуд.

У Вали есть две правильные игральные кости в форме икосаэдра (икосаэдр — правильный двадцатигранник, см. рисунок).

Валя хочет написать на гранях числа так, чтобы при случайном бросании этих двух икосаэдров сумма выпавших чисел принимала все натуральные значения от 1 до 50 с равными вероятностями. Приведите пример, как Валя может разметить икосаэдры.

Родители уехали на несколько дней, и за Валей и Колей присматривает Рассеянный Ученый. По утрам он варит им манную кашу. Слишком густую кашу Коля принципиально не ест, а Валя ни за что не станет есть слишком жидкую. Известно, что в среднем пять раз из девяти каша получается слишком густой для Коли и пять раз из девяти каша получается слишком жидкой для Вали. Какова вероятность того, что хотя бы один из них согласится есть кашу, которую завтра им сварит Ученый?

Коля хочет купить мороженое, подходит к киоску и видит записку «Перерыв на 15 минут». Валя, которая стоит у киоска, сказала, что пришла ровно три минуты назад и объявление уже висело. Какова вероятность того, что Коле придется ждать продавца не более 3 минут? Перерыв действительно длится ровно 15 минут.

Используя каждую цифру от 1 до 9 ровно один раз, составьте набор из трех однозначных и трех двузначных чисел с наибольшим возможным стандартным отклонением.

В архипелаге Новая Гексания шесть островов. Каждый остров соединен мостами с четырьмя другими, как показано на рисунке. Если два острова соединены, то жители этих двух островов считают себя соседями. Всего на островах шесть обитателей — на каждом острове живет либо рыцарь, либо лжец. Рыцарь всегда говорит правду и не может солгать, а лжец — наоборот — не может сказать правду. Каждый островитянин утверждает, что если выбрать случайным образом одного из его соседей, то он с вероятностью 0,5 окажется лжецом и с вероятностью 0,5 — рыцарем. Даже рыцарь Персиваль утверждает то же самое. Сколько на островах рыцарей и сколько лжецов?

Однажды где-то на дорожке в городском парке Рассеянный Ученый обронил очки. Он попытался их найти, но стало только хуже, — во-первых, он не помнит, где он потерял очки, а во-вторых, он уже не знает, где он сейчас. Но тут ему повстречались его юные друзья Валя и Коля.
— Ерунда, — сказал Коля. Мы сейчас быстро обежим парк и вернемся сюда же к вам. Валя пройдет ровно по разу по некоторым дорожкам, а я — ровно по разу по всем остальным. И мы обязательно найдем ваши очки. Только никуда не уходите!
— Ах, друзья мои! Как жаль, что у вас ничего не выйдет! — воскликнул Ученый.
— Как не выйдет? Мы обязательно их найдем!
— Очки вы, может, и найдете. Но вы не сможете по разу пройти по всем дорожкам и при этом вернуться сюда.
Прав ли Ученый? Если да, объясните почему. Если не прав, то покажите, как можно обойти парк двумя разными путями из какой-нибудь точки, пройдя по всем дорожкам ровно по разу и вернувшись в исходную точку.

У Вали в шкатулке четыре синие бусины и одна красная. Они с Колей бросают жребий: каждый по очереди не глядя вынимает бусину. Выигрывает тот, кому досталась красная. Начинает Валя, так как это ее бусины, но зато Коля может выбрать одно из дополнительных правил.
Правило 1. Вынутые бусины остаются у игроков.
Правило 2. Каждая вынутая бусина тут же возвращается в шкатулку.
Какое правило должен выбрать Коля, чтобы повысить вероятность своего выигрыша?