МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Через вершины $A$, $B$ и $C$ трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) проведена окружность. Известно, что окружность касается прямой $CD$, а ее центр лежит на диагонали $AC$. Найти площадь трапеции $ABCD$, если $BC=2$, $AD=8$.

Решить уравнение \[ \log_3(\sin3x-\sin x)=2\log_9(17\sin2x)-1. \]

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $D$ — середина гипотенузы $AB$, а медианы треугольника пересекаются в точке $E$. Треугольник $ABC$ расположен на координатной плоскости $Oxy$ так, что точка $A$ лежит на оси $Oy$, точка $D$ симметрична точке $C$ относительно оси $Oy$, а точки $C$, $D$ и $E$ лежат на графике функции $y=\left(x^2-5\right)^2$. Найти уравнение прямой $CD$ и площадь треугольника $ABC$.

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ ($S$ — вершина) $AB=3\sqrt2$, высота пирамиды равна $8$. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку $A$, а другая — через точки $B$ и $D$, имеют равные площади. В каком отношении делят ребро $SC$ плоскости сечений? Найти расстояние между плоскостями сечений и объемы многогранников, на которые пирамида разбивается этими плоскостями.

Найти все значения параметра $p$, при которых сумма всех корней уравнения \[ \left(x-\frac94p\right)^4-4p(p-1)\left(x-\frac94p\right)^2-p^3(2p-3)=0 \] меньше $-5p^2+11p+7$.