МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить уравнение \[ \frac{2\sin3x+\sin5x}{|\sin x|}=1. \]

Решить неравенство \[ \log_{1+\frac{6}{25}x}x-2\log_x\left(1+\frac{6}{25}x\right)\gt 1. \]

Через середину гипотенузы $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ проведена прямая, пересекающая катет $BC$ в точке $D$, а продолжение катета $AB$ за точку $A$ — в точке $E$. Найти площадь треугольника $ABC$, если $CD=1$, $AE=2$, $\angle CAB=\arccos\frac35$.

Парабола $\Pi_2$ симметрична параболе $\Pi_1$ $y=ax^2$, $a\lt 0$ относительно точки $N(b;ab^2)$, где $b\gt 0$. Некоторая прямая пересекает каждую из парабол ровно в одной точке: $\Pi_1$ — в точке $B_1$, $\Pi_2$ — в точке $B_2$ так, что угол $B_1B_2N$ — прямой. Касательная к параболе $\Pi_1$, проведенная в точке $B_1$, пересекает отрезок $B_2N$ в точке $L$. Определить, в каком отношении точка $L$ делит отрезок $B_2N$. Найти значения параметров $a$ и $b$, при которых длина отрезка $B_1L$ минимальна, если площадь треугольника $B_1B_2N$ равна $\frac13$.

В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковое ребро равно $\sqrt{14}$, длина стороны основания $ABCD$ призмы равна $6$. Окружность основания прямого кругового конуса вписана в треугольник $BC_1D$, а вершина конуса лежит в плоскости $ABC_1$. Найти объем конуса.