МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Найти наименьшее натуральное число $n$, при котором выполняется равенство \[ \sin\left(n^\circ+80^\circ\right)+\sin\left(n^\circ-40^\circ\right)+\sin\left(n^\circ+70^\circ\right)-\cos25^\circ=0. \]

Решить неравенство $5-3\left|3^x-1\right|\lt \sqrt{10-3^{x+1}}$.

В равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписана окружность с центром $O$. Касательная к окружности пересекает стороны $BC$ и $CA$ треугольника в точках $M$ и $N$ соответственно. Найти радиус окружности, если $\angle MNC=2\angle NMC$, $OM=\sqrt{10}$, $ON=\frac{15}{4}$.

На координатной плоскости рассматривается фигура $\Phi$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} \log_{y-x}(2y-2xy)\leqslant2,\\ |x|\leqslant4-y. \end{cases} \] Изобразить фигуру $\Phi$ и найти ее площадь.

На ребре $AC$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ взята точка $K$ так, что $AK=\frac14$, $CK=\frac34$. Через точку $K$ проведена плоскость, образующая с плоскостью $ABC$ угол $\operatorname{arctg}\frac76$ и рассекающая призму на два многогранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем призмы, если известно, что около одного из этих многогранников можно описать сферу, а около другого — нет.