МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить уравнение \[ \sqrt{4+3\cos x-\cos2x}=\sqrt6\sin x. \]

Решить неравенство \[ \log_{|x+2|}\left(4^{-x}-1\right)\lt \log_{|x+2|}\left(2^{-x}+1\right)+\log_{|x+2|}\left(2^{-x-1}+1\right). \]

Равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписан в окружность. Прямая $CD$, перпендикулярная $AB$, пересекает окружность в точке $P$. Касательная к окружности, проходящая через точку $P$, пересекает прямую $AB$ в точке $Q$. Найти длины отрезков $PA$ и $PQ$, если $AC=5$, $\angle ABC=2\arccos\sqrt{\frac56}$.

График функции $y=f(x)$, где $f(x)=-2x^3-8ax^2-4a^2x+5$, $a\lt 0$, и прямая $l$, заданная уравнением $y=4a^2x+5$, имеют ровно две общие точки.
1) Найти $a$, если площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ и прямой $l$, равна $\frac{27}{2}$.
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции $y=f(x)$ в точке с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось $Oy$ в точке с наименьшей ординатой. Найти эту ординату.

В основании призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит прямоугольник $ABCD$. Острые углы $D_1DA$ и $D_1DC$ равны между собой, угол между ребром $D_1D$ и плоскостью основания призмы равен $\arccos\frac{1}{\sqrt{13}}$, а $CD=5\sqrt6$. Все грани призмы касаются некоторой сферы. Найти длину $BC$, угол между плоскостями $D_1DC$ и $ABC$, а также расстояние от точки $D$ до центра сферы.