МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Найти все действительные корни уравнения \[ |2\sqrt{x}+1-x|+|x-2\sqrt{x}+2|=7. \]

Решить систему уравнений \[ \begin{cases} 6\sin x\cos y+2\cos x\sin y=-3,\\ 5\sin x\cos y-3\cos x\sin y=1. \end{cases} \]

Около окружности описаны ромб со стороной 3 и треугольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна одной из сторон ромба и равна 7. Найти радиус окружности.

Пусть $M$ — множество точек плоскости с координатами $(x;y)$ таких, что числа $3x$, $2y$ и $9-y$ являются длинами сторон некоторого треугольника. Найти площадь фигуры $M$.
Фигура $\Phi$ состоит из точек множества $M$ таких, что неравенство $t^2+2t(x-2)+7-y\gt 0$ выполняется при всех значениях параметра $t$. Найти площадь фигуры $\Phi$.

В треугольной пирамиде $ABCD$ ребра $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, $AB=BD=AD=a$, середина ребра $AC$ равноудалена от плоскостей $ABD$ и $BCD$, угол между ребром $AC$ и гранью $CBD$ равен $\arcsin\frac{1}{\sqrt3}$. Найти длину ребра $CD$, угол $CAD$ и угол между ребром $BD$ и гранью $ACD$.