МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить неравенство \[\dfrac{\sqrt{-x^2+x+6}}{|x^2-7x+6|-|x^2-x-x|}\geqslant 0.\]

Решить уравнение \[\dfrac{\sin x}{\cos 2x\cos 3x}+\dfrac{\sin x}{\cos 3x\cos 4x}=\sin 4x-\mathrm{tg}\,2x.\]

Решить систему уравнений \[\begin{cases}2\log_3^2(x+2y)=\log_{\frac13}(x+2y)\log_{\frac13}(x-y)+\log_3^2(x-y),\\ x^2+xy-2y^2=9.\end{cases}\]

Окружности $C_1$ и $C_2$ внешне касаются в точке $A$. Прямая $\ell$ касается окружности $C_1$ в точке $B$, а окружности $C_2$ — в точке $D$. Через точку $A$ проведены две прямые: одна проходит через точку $B$ и пересекает окружность $C_2$ в точке $F$, а другая касается окружностей $C_1$ и $C_2$ и пересекает прямую $\ell$ в точке $E$. Найти радиусы окружностей $C_1$ и $C_2$, если $AF=3\sqrt{2}$, $BE=\sqrt{5}$.

Найти все значения $a$, при которых уравнение $\sqrt{x-9}=ax+7a-3$ имеет единственное решение.

В правильной треугольной пирамиде $ABCD$ угол $ADC$ равен $2\arcsin\left(\dfrac{1}{6}\right)$, сторона основания $ABC$ равна $2$. Точки $K$, $M$, $N$ — середины ребер $AB$, $CD$, $AC$ соответственно. Точка $E$ лежит на отрезке $KM$ и $3ME=KE$. Через точку $E$ проходит плоскость $\pi$ перпендикулярно отрезку $KM$. В каком отношении плоскость $\pi$ делит ребра пирамиды? Найти площадь сечения пирамиды плоскостью $\pi$ и расстояние от точки $N$ до плоскости $\pi$.