МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить систему уравнений \[\begin{cases}3^{x+y+1}+7\cdot 3^{y-2}=8,\\ \sqrt{x+y^2}=x+y.\end{cases}\]

Решить уравнение \[\dfrac{\cos^3 x\sin 3x}{\sin x}+\sin^2 x\cos 3x=6\cos 2x\cos^2 x.\]

Решить неравенство \[\dfrac{1}{2-\sqrt{x^2-x-2}}\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{x^2+3}}.\]

Через точку $A$ проведены две прямые: одна из них касается окружности в точке $B$, а другая пересекает эту окружность в точках $C$ и $D$ так, что $D$ лежит на отрезке $AC$. Найти $AB$, $CD$ и радиус окружности, если $BC=4$, $BD=3$, $\angle BAC=\arccos\dfrac{1}{3}$.

Тело в форме тетраэдра $ABCD$ с одинаковыми ребрами поставлено гранью $ABC$ на плоскость. Точка $F$ — середина ребра $CD$, точка $S$ лежит на прямой $AB$, $S\neq A$, $AB=BS$. В точку $S$ сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку $F$, чтобы пройденный им путь был минимальным?

Сторона основания $ABC$ правильной пирамиды $ABCD$ равна $4\sqrt{3}$, $\angle DAB=\mathrm{arctg}\sqrt{\dfrac{37}{3}}$. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины ребер $AD$, $BD$, $CD$ соответственно. Найти:
1) угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
2) расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
3) радиус сферы, касающейся плоскости $ABC$ и отрезков $AC_1$, $BA_1$ и $CB_1$.