МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить уравнение \[5\sqrt{1+|x^2-1|}=3+|3-5x|.\]

Решить уравнение \[3+\cos6x=2\dfrac{\sin3x}{\cos4x}-4\operatorname{tg}^24x.\]

Решить неравенство \[\dfrac{3}{\log_{\sqrt{1+x}}(1-x)+4}\leqslant\log_{(x+1)^2}\dfrac{x+1}{(x-1)^2}.\]

В треугольнике $ABC$ периметра 40 и площади 60 сторона $BC$ равна 16. Внутри треугольника $ABC$ взята точка $D$, удалённая на расстояние 1 от прямой $AB$ и на расстоянии 2 от прямой $AC$. Найти угол $BAC$ и расстояние от $D$ до центра вписанной окружности треугольника $ABC$.

Найти все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющие системе уравнений \[\begin{cases} 3x^2-8xy-y^2=18,\\ x^2+y^2-2x+8y+16=0.\end{cases}\]

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ ребро основания $ABCD$ равно 1, а боковое ребро равно $\sqrt{\dfrac32}$. На ребре $SB$ выбрана точка $K$ так, что $BK=3KS$. Сфера $\omega$ с центром на отрезке $DK$ проходит через точки $S$ и $C$. Найти, в каком отношении центр сферы $\omega$ делит отрезок $DK$, радиус сферы $\omega$ и длину отрезка, который $\omega$ отсекает от прямой $CD$.