МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить неравенство \[\sqrt{\dfrac{1}{x^2+2x-3}}\geqslant\dfrac{1}{4-x}.\]

Решить уравнение \[\dfrac{4\cos^22x\cos4x+3\cos2x+\cos6x}{\cos3x}=0.\]

Найти действительные решения системы уравнений \[\begin{cases} 2y^2=x^4+x,\\ y=\dfrac{2x}{y}-5x^2.\end{cases}\]

Параллелограмм $ABCD$ имеет площадь 4. Окружность с центром в точке $O$, расположенной на отрезке $AD$, касается отрезков $AB$, $BC$ и прямой $CD$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Найти радиус этой окружности и стороны параллелограмма $ABCD$, если $\dfrac{CK}{BM}=3$.

Найти все пары вещественных чисел $(x,y)$, удовлетворяющие неравенству \[\log_{3^x+2^{-x}}\left(3-\cos4x+\sin\dfrac{3y}{2}\right)\leqslant\log_{\left(\left|\cos\frac y3\right|+\left|\sin\frac y3\right|\right)}\left(|\sin3x\cos2y|\right).\]

На основании $ABCD$ четырёхугольной пирамиды $SABCD$ расположена точка $O$. Сфера с центром в точке $O$ касается прямых $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ в точках $A$, $B$, $K$, $L$ соответственно. Известно, что $AB=KL=2\sqrt5$, $AL=2$, $BK=6$, а отрезок $SO$ составляет с плоскостью $ABCD$ угол $\arccos\dfrac23$. Найти длины отрезков $AK$, $OS$ и $SD$.