МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить неравенство \[\log_{\left(\frac{2-x}{1-x}\right)}(4-x)\leqslant2.\]

Решить уравнение \[\dfrac{\sin^3x\cos3x+\cos^3x\sin3x}{|\sin2x|}=\dfrac34.\]

Решить систему уравнений \[\begin{cases} x+\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}=\dfrac{42}{x+y},\\ xy-x=16.\end{cases}\]

В треугольнике $ABC$ медиана $BM=2$, угол $ABM$ равен $\operatorname{arctg}\dfrac23$, угол $CBM$ равен $\operatorname{arctg}\dfrac15$. Найти стороны $AB$, $BC$ и биссектрису $BE$ треугольника $ABC$.

Решить систему уравнений \[\begin{cases} x+y^4-2y^2=\ln x,\\ 2\operatorname{arctg}x+\arcsin y=0.\end{cases}\]

В основании пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. Сфера $\omega$ радиуса $\dfrac{15}{14}$ с центром $O$ касается рёбер $AS$, $BS$, $AD$, $BC$ пирамиды $SABCD$ соответственно в точках $K$, $L$, $M$, $N$, пересекает ребро $AB$ в точках $P$ и $Q$ и касается грани $CDS$. Известно, что прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $ABCD$ и пересекает её в точке $H$, $\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{4}{\sqrt7}$, $\dfrac{AS}{LS}=\dfrac32$. Найти $\angle SAB$, $\angle SBH$, высоту пирамиды и её объём.