Московская математическая олимпиада

К каждому члену некоторой конечной последовательности подряд идущих натуральных чисел приписали справа по две цифры и получили последовательность квадратов подряд идущих натуральных чисел. Какое наибольшее число членов могла иметь эта последовательность?

На плоской горизонтальной площадке стоят $5$ прожекторов, каждый из которых испускает лазерный луч под одним из двух острых углов $\alpha$ или $\beta$ к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые $4$ из этих прожекторов можно повернуть так, что все $4$ испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть все $5$ прожекторов, чтобы все $5$ лучей пересеклись в одной точке?

Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные $2^n$ слов, состоящих из $n$ букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение $n$ множителей, исправив каждую букву А на $x$, а каждую букву Б — на $(1-x)$, и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от $x$. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке $[0;1]$ функцию от $x$.

После обеда на прозрачной квадратной скатерти остались тёмные пятна общей площади $S$. Оказалось, что если сложить скатерть пополам вдоль любой из двух линий, соединяющих середины противоположных её сторон, или же вдоль одной из двух её диагоналей, то общая видимая площадь пятен будет равна $S_1$. Если же сложить скатерть пополам вдоль другой её диагонали, то общая видимая площадь пятен останется равна $S$. Какое наименьшее значение может принимать величина $S_1:S$?

Обозначим через $S(n,k)$ количество не делящихся на $k$ коэффициентов разложения многочлена $(x+1)^n$ по степеням $x$.
а) Найдите $S(2012,3)$.
б) Докажите, что $S(2012^{2011},2011)$ делится на $2012$.