Московская математическая олимпиада

Найдите наименьшее натуральное число, кратное $80$, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно $80$.

На вписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $AC$ в точке $S$, нашлась такая точка $Q$, что середины отрезков $AQ$ и $QC$ также лежат на вписанной окружности. Докажите, что $QS$ — биссектриса угла $AQC$.

Пусть $x_0$ — положительный корень уравнения $x^{2017}-x-1=0$, а $y_0$ — положительный корень уравнения $y^{4034}-y=3x_0$.
а) Сравните $x_0$ и $y_0$.
б) Найдите десятый знак после запятой числа $|x_0-y_0|$.

Три велосипедиста ездят в одном направлении по круглому треку длиной $300$ метров. Каждый из них движется со своей постоянной скоростью, все скорости различны. Фотограф сможет сделать удачный снимок велосипедистов, если все они окажутся на каком-либо участке трека длиной $d$ метров. При каком наименьшем $d$ фотограф рано или поздно заведомо сможет сделать удачный снимок?

На гранях единичного куба отметили $8$ точек, которые служат вершинами меньшего куба. Найдите все значения, которые может принимать длина ребра этого куба.

В Чикаго орудует $36$ преступных банд, некоторые из которых враждуют между собой. Каждый гангстер состоит в нескольких бандах, причём любые два гангстера состоят в разных наборах банд. Известно, что ни один гангстер не состоит в двух бандах, враждующих между собой. Кроме того, оказалось, что каждая банда, в которой не состоит некоторый гангстер, враждует с какой-то бандой, в которой данный гангстер состоит. Какое наибольшее количество гангстеров может быть в Чикаго?