Московская математическая олимпиада

Даны две непостоянные прогрессии $(a_n)$ и $(b_n)$, одна из которых арифметическая, а другая — геометрическая. Известно, что $a_1=b_1$, $a_2:b_2=2$ и $a_4:b_4=8$. Чему может быть равно отношение $a_3:b_3$?

Незнайка знаком только с десятичными логарифмами и считает, что логарифм суммы двух чисел равен произведению их логарифмов, а логарифм разности двух чисел равен частному их логарифмов. Может ли Незнайка подобрать хотя бы одну пару чисел, для которой действительно верны одновременно оба этих равенства?

Детектив Ниро Вульф расследует преступление. В деле замешаны $80$ человек, среди которых один — преступник, ещё один — свидетель преступления (но неизвестно, кто это). Каждый день детектив может пригласить к себе одного или нескольких из этих $80$ человек, и если среди приглашённых есть свидетель, но нет преступника, то свидетель сообщит, кто преступник. Может ли детектив заведомо раскрыть дело за $12$ дней?

Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $D$, что $BD=CD$, $\angle BDC=120^\circ$. Вне треугольника $ABC$ взята такая точка $E$, что $AE=CE$, $\angle AEC=60^\circ$ и точки $B$ и $E$ находятся в разных полуплоскостях относительно $AC$. Докажите, что $\angle AFD=90^\circ$, где $F$ — середина отрезка $BE$.

Таблица размером $2017\times2017$ заполнена ненулевыми цифрами. Среди $4034$ чисел, десятичные записи которых совпадают со строками и столбцами этой таблицы, читаемыми слева направо и сверху вниз соответственно, все, кроме одного, делятся на простое число $p$, а оставшееся число на $p$ не делится. Найдите все возможные значения $p$.