Объединённая межвузовская математическая олимпиада (ОММО)
11 класс, заключительный этап, 2017
10 задач
Задача 1
Представьте в виде несократимой дроби: \[ \frac{12+15}{18}+\frac{21+24}{27}+\ldots+\frac{48+51}{54}. \]
Ответ:
Решение:
Задача 2
Андрей, Максим, Игорь и Коля соревновались в велогонке. На вопрос, кто какое место занял, они ответили:
Андрей: — Я не был ни первым, ни последним.
Максим: — Я не был последним.
Игорь: — Я был первым.
Коля: — Я был последним.
Известно, что три мальчика ответили честно и только один соврал. Кто из мальчиков соврал?
Андрей: — Я не был ни первым, ни последним.
Максим: — Я не был последним.
Игорь: — Я был первым.
Коля: — Я был последним.
Известно, что три мальчика ответили честно и только один соврал. Кто из мальчиков соврал?
Ответ:
Решение:
Задача 3
Про натуральные числа $x$ и $y$ и целое нечётное число $z$ известно, что \[ x!+y!=24z+2017. \] Найдите все возможные такие тройки чисел $(x,y,z)$.
Ответ:
Решение:
Задача 4
Пусть $L$ — точка пересечения диагоналей $CE$ и $DF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной $3$. Точка $K$ такова, что $\overrightarrow{LK}=3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Определите, лежит ли точка $K$ внутри, на границе или вне $ABCDEF$, а также найдите длину отрезка $KC$.
Ответ:
Решение:
Задача 5
Решите в действительных числах систему уравнений \[ \begin{cases} x+y+2-4xy=0,\\ y+z+2-4yz=0,\\ z+x+2-4zx=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Задача 6
Сравните числа $\dfrac{\sin2016^\circ}{\sin2017^\circ}$ и $\dfrac{\sin2018^\circ}{\sin2019^\circ}$.
Ответ:
Решение:
Задача 7
В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD\gt BC$) боковая сторона равна $20$ см, угол $BAC$ равен $45^\circ$. Пусть $O$ — центр окружности, описанной вокруг $ABCD$. Оказалось, что прямые $OD$ и $AB$ перпендикулярны. Найдите длину основания $AD$ трапеции.
Ответ:
Решение:
Задача 8
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ 4^{|x-a|}\log_{\frac13}\left(x^2-2x+4\right)+2^{x^2-2x}\log_{\sqrt{3}}\bigl(2|x-a|+3\bigr)=0 \] имеет ровно три решения?
Ответ:
Решение:
Задача 9
В первенстве по футболу участвует $20$ команд, которые играют по разу друг с другом. Какое наименьшее число игр должно быть сыграно, чтобы среди любых трёх команд нашлись две, уже сыгравшие между собой?
Ответ:
Решение:
Задача 10
В треугольной пирамиде $ABCD$ с основанием $ABC$ боковые рёбра попарно перпендикулярны, $DA=DB=2$, $DC=5$. Из точки основания испускают луч света. Отразившись ровно по одному разу от каждой боковой грани (от рёбер луч не отражается), луч попадает в точку на основании пирамиды. Какое наименьшее расстояние мог пройти луч?
Ответ:
Решение: