Объединённая межвузовская математическая олимпиада (ОММО)

Вася и Маша поженились в 1994 году. С тех пор у них родились четверо детей, и новый 2015 год встречали уже все шестеро. По странному совпадению все дети родились 6 февраля, а сегодня, 7 февраля 2016 года, Вася заметил, что возраст старшего равен произведению возрастов трёх младших. Докажите, что в этой семье есть близнецы.

На доске написано число $27$. Каждую минуту число стирают с доски и записывают на его место произведение его цифр, увеличенное на $12$. Например, через минуту на доске будет написано число $2\cdot7+12=26$. А что окажется на доске через час?

Про действительные числа $x$, $y$, $z$ известно, что \[ xy+z=yz+x=zx+y. \] Докажите, что какие-то два из чисел $x$, $y$, $z$ равны.

Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ такова, что $AC=BC+AD$, а один из углов между прямыми $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$. Докажите, что $ABCD$ — равнобокая трапеция.

У Пети имеется $50$ шариков трёх цветов: красные, синие и зелёные. Известно, что среди любых $34$ шариков есть хотя бы один красный; среди любых $35$ — синий; среди любых $36$ — зелёный. Сколько шариков зелёного цвета может быть у Пети?

Найдите все действительные числа $x$ такие, что оба числа $x+\sqrt{3}$ и $x^2+\sqrt{3}$ — рациональные.

На сторонах $AD$ и $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ выбраны точки $F$ и $E$ соответственно таким образом, что $AF/FD=BE/EC=AB/CD$. Продолжение отрезка $EF$ за точку $F$ пересекает прямую $AB$ в точке $P$, а прямую $CD$ — в точке $Q$. Докажите, что $\angle BPE=\angle CQE$.

Карлсон написал дробь $5/8$. Малыш может:

• прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно;
• умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь, равную $3/5$?