Объединённая межвузовская математическая олимпиада (ОММО)

Что больше: $1$ или $\dfrac{21}{64}+\dfrac{51}{154}+\dfrac{71}{214}$?

В футбольном турнире играли семь команд: каждая команда по одному разу сыграла с каждой. В следующий круг отбираются команды, набравшие тринадцать и более очков. За победу даётся 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Какое наибольшее количество команд может выйти в следующий круг?

При каком наименьшем натуральном $k$ выражение $2017\cdot 2018\cdot 2019\cdot 2020+k$ является квадратом натурального числа?

Точка $O$ лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$. Расстояние от неё до вершины $A$ прямого угла равно $6$, до вершины $B$ равно $4$, до вершины $C$ равно $8$. Найти площадь треугольника $ABC$.

Обозначим $f(x)=9x^2+8x-2$. Решите уравнение $f(f(x))=x$.

Найдите все значения, которые может принимать выражение\[3\arcsin x-2\arccos y\]при условии $x^2+y^2=1$.

Дан треугольник $ABC$. На отрезках $AB$ и $BC$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $AX=BY$. Оказалось, что точки $A$, $X$, $Y$ и $C$ лежат на одной окружности. Пусть $BL$ — биссектриса треугольника $ABC$ ($L$ на отрезке $AC$). Докажите, что $XL\parallel BC$.

При каких значениях параметра $a$ уравнение\[\log_2\left(2x^2+(2a+1)x-2a\right)-2\log_4\left(x^2+3ax+2a^2\right)=0\]имеет два различных корня, сумма квадратов которых больше $4$?

В школе имеется три кружка: по математике, по физике и по информатике. Директор как-то заметил, что среди участников кружка по математике ровно $1/6$ часть ходит ещё и на кружок по физике, а $1/8$ часть — на кружок по информатике; среди участников кружка по физике ровно $1/3$ часть ходит ещё и на кружок по математике, а ровно $1/5$ — на кружок по информатике; наконец, среди участников кружка по информатике ровно $1/7$ часть ходит на кружок по математике. А какая часть участников кружка по информатике ходит на кружок по физике?

Назовём горой усечённый прямой круговой конус с длиной окружности нижнего основания $8$, а верхнего основания — $6$. Склон горы наклонён под углом $60^\circ$ к плоскости основания. На окружности нижнего основания лежит точка $A$. Турист начинает подъём по склону из точки $A$ к ближайшей точке верхнего основания, а затем продолжает свой путь по краю верхнего основания, и проходит расстояние $2$. После этого он возвращается в точку $A$ кратчайшим маршрутом. Чему равна длина обратного пути?