Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Выясните, какое из чисел больше: \[\operatorname{arctg}\left(1+\sqrt2\right)+\operatorname{arcctg}\left(1-\sqrt2\right)\quad\text{или}\quad\frac{7\sqrt3}{4}\,.\]

Найдите все значения $a$, при каждом из которых для любого значения $b$ система \[\begin{cases}(x+1)^2+|y-1|=2,\\ y=b|2x+1|+a\end{cases}\] имеет решения.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол при вершине равен $2\arccos\frac34$. Окружность радиуса 4 с центром в середине основания $AC$ пересекает прямую $AB$ в точках $K$ и $L$, а прямую $BC$ в точках $M$ и $N$, причём отрезки $KM$ и $LN$ пересекаются. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $B$, $L$ и $N$.

Решите уравнение \[\log_3(x+1)\cdot\log_3(2x-1)\cdot\left(3-\log_3(2x^2+x-1)\right)=1.\]

Два равных конуса расположены так, что осью каждого из них является образующая другого. Углы при вершинах в осевых сечениях этих конусов равны по $60^\circ$. Найдите угол между двумя образующими, по которым пересекаются эти конусы.