Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Найдите все пары натуральных чисел $x,y\in[1;8]$, удовлетворяющих равенству \[\sqrt{x x,xxx\ldots}=y,yyy\ldots\] (десятичная запись каждого из чисел $xx,xxx\ldots$ и $y,yyy\ldots$ состоит из бесконечного количества одинаковых цифр).

Решите уравнение \[\left|\log_{\frac12}x^2-2\right|-\left|\log_2x+2\right|=\frac12\log_{\frac{1}{\sqrt2}}x.\]

В окружность радиуса 3 вписаны треугольники $ABC$ и $AMN$. При этом прямая $AM$ проходит через середину $E$ отрезка $BC$, а прямая $BN$ — через середину $F$ отрезка $AC$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AM:AE=2:1$ и $BN:BF=17:13$.

Выясните, сколько корней имеет уравнение \[\left(21x-11+\frac{\sin x}{100}\right)\cdot\sin(6\arcsin x)\cdot\sqrt{(\pi-6x)(\pi+x)}=0.\]

Квадрат со стороной 12 требуется разрезать (полностью) на четыре квадрата с целочисленной стороной $a$, три квадрата с целочисленной стороной $b$ и десять прямоугольников со сторонами $a$ и $b$. Найдите все значения $a$ и $b$, при которых это возможно.