Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Решите уравнение \[ \sqrt{\log_x\sqrt{2x}}\cdot\log_2 x=-1. \]

Футбольный мяч шьётся из 32 кусочков кожи: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый чёрный кусочек граничит только с белыми кусочками, каждый белый кусочек граничит с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько чёрных кусочков нужно для изготовления мяча?

Решите уравнение \[ \sin^{10}x+\cos^{10}x=\dfrac{29}{16}\cos^4 2x. \]

На плоскости основания конуса с высотой, равной радиусу основания, дана точка (вне конуса), удалённая от окружности основания на расстояние, равное двум радиусам основания. Найдите угол между касательными плоскостями к боковой поверхности конуса, проходящими через данную точку.

Найдите все значения $a$, при которых имеет единственное решение система \[ \begin{cases} (x^2+1)a=y-\cos x, \\ \sin^4 x+|y|=1. \end{cases} \]