Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Решите неравенство \[ \sqrt{x^2-4x+5}+\sqrt{3x^2-12x+13}\leqslant 4x-x^2-2. \]

Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством \[ \arcsin(2x)+\arccos(2x)\geqslant\frac{\pi}{4}\cdot\left(y^2-2\right). \]

Найдите наименьшее натуральное число $q$, для которого существует такое целое число $p$, что уравнение $x^4+px^2+q=0$ имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию.

В треугольник $ABC$, в котором сумма сторон $AB$ и $BC$ в $9/5$ раз больше стороны $AB$, вписана окружность, касающаяся сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Отношение площади треугольника $MNC$ к площади треугольника $ABC$ равно $r$. Найдите при данных условиях:
а) наименьшее значение $r$;
б) все возможные значения $r$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ 16^x-6\cdot8^x+8\cdot4^x+(2-2a)\cdot2^x-a^2+2a-1=0 \] имеет ровно три различных корня.