Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Найдите число решений уравнения \[ \left(\dfrac13\right)^{2\sin x}+\left(\dfrac15\right)^{2\sin x}+1=\left(\dfrac1{15}\right)^{\sin x}+\left(\dfrac13\right)^{\sin x}+\left(\dfrac15\right)^{\sin x} \] на отрезке $[-314;3{,}15]$.

Уравнение \[ x^3+\left(13+8\sqrt2\right)x=\left(8+\sqrt2\right)x^2+13\sqrt2 \] имеет три корня: $a$, $b$ и $c$. Какие значения может принимать объем параллелепипеда со сторонами $a+1$, $b+1$, $c+1$?

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, угол $A$ — прямой, $AC=AD$. На стороне $AB$ выбрана точка $M$ так, что $MC$ пересекает $BD$ в точке $N$, $BM=BN=AD$. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если $DC=12$.

Толя задумал две такие цифры $a$ и $b$, что составленное из них двузначное число является простым и произведение двух четырёхзначных чисел $\overline{180a}$ и $\overline{4b78}$ при делении на $11$ дает в остатке $1$. Определите все возможные значения получающегося простого числа.

Поля и Оля играют в кубики. За один ход Поля бросает правильный 12-гранник (додекаэдр) с числами $1,2,\ldots,12$ на гранях. За один ход Оля бросает два кубика (гексаэдра) с числами $1,2,\ldots,6$ на гранях и складывает два выпавших на них числа. Побеждает тот игрок, у кого больше очков. Второй ход делается только в случае равного количества очков. Если победитель опять не выявлен, делается третий ход. После этого игра заканчивается в любом случае.
а) Какова вероятность, что Поля выиграет уже после первого хода?
б) Какова вероятность того, что победитель так и не будет выявлен?
в) У кого из игроков вероятность выиграть больше, и чему она равна?

Докажите, что для любого треугольника с вершинами на графике многочлена степени $2025$ и для любой точки $P$ на границе или внутри этого треугольника найдётся содержащий точку $P$ отрезок с концами на графике, длина которого не превосходит длины наибольшей стороны этого треугольника.