Олимпиада «Росатом»

Для функции $f(x)=x^2+2x-3$ решить уравнение $f(2f(x))=117$.

Функция $t(x)$ определена на всей числовой оси так, что $t(x)=0$ для всех $x\leqslant0$ и $t(x)=1$ для $x\gt 0$. Решить уравнение $\sin2x=0{,}5\cdot t\left(x-\frac{\pi}{2}\right)-1{,}5\cdot t(x-\pi)+t(x-2\pi)$.

$\{a_n\}$ — арифметическая прогрессия с $a_1=3$ и разностью $d=2$. $S_n$ — сумма первых ее $n$ членов. Функция $f(x)=ax^2+bx+c$ такова, что $f(a_n)=S_n$ для всех натуральных $n$. Найти $a$, $b$ и $c$.

При каких натуральных $n$ множество решений неравенства \[ 15x^2-2(n+15)x+(n-6)(20-n)\leqslant0 \] содержит ровно $3$ целых числа?

Математической моделью шарикового подшипника является кольцо, образованное двумя концентрическими окружностями $K_1$ и $K_2$ радиусов $r$ (внутреннее) и $R$ (внешнее), а также $n$ окружностей (шариков) радиуса $\rho$, расположенных внутри кольца, касающихся между собой и окружностей $K_1$ и $K_2$. Напишите формулу зависимости радиуса внешней окружности $R$ от $\rho$ и $n$.