Олимпиада «Росатом»

Сколько пар $(x;y)$ целых чисел, являющихся решениями уравнения $7x-5y=23$, удовлетворяют неравенству $x^2+y^2\leqslant 37$? Найти пару $(x;y)$, для которой $x+y$ наибольшее.

Найти $x$, при котором выражение $\left(\sin^2 x-\cos x-1/4\right)^2+(\cos 2x+\cos x)^2$ принимает наименьшее значение.

Для квадратного трехчлена $P_1(x)=x^2-x-6$ и натурального числа $n$ определим многочлены $P_2(x)=P_1(2x)$, $P_3(x)=P_2(2x)$, $\ldots$, $P_n(x)=P_{n-1}(2x)$. Решить уравнение $P_n(x)=0$ и найти сумму корней многочлена \[ Q_n(x)=P_1(x)+P_2(x)+\ldots+P_n(x). \]

Петя и Вова играют в кости на фантики. Ведущий игру Петя выигрывает, если при бросании им двух игральных кубиков сумма выпавших на них очков не превосходит 4 и проигрывает во всех остальных случаях. Проиграв, Петя отдаёт Вове 1 фантик, выиграв — получает от Вовы $k$ фантиков. Игра считается справедливой, если среднее значение выигрыша каждым игроком равна нулю. Найти значение $k$, при котором игра будет справедливой?

Функция \[ \chi(t)=\begin{cases} 1, & \text{при } t\gt 0,\\ 0, & \text{при } t\leqslant 0. \end{cases} \] При каких значениях $a$ система \[ \begin{cases} x\cdot\chi(x-a)+y\cdot\chi(y-2a)=5a,\\ x+2y=2 \end{cases} \] имеет единственное решение?

В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AD=8$, $AB=4$ расположены три круга $K$, $K_1$ и $K_2$. Круг $K$ касается кругов $K_1$, $K_2$ внешним образом, а также прямых $AD$ и $BC$. Круги $K_1$, $K_2$ касаются также сторон $AD$, $AB$ и $AD$, $CD$ соответственно. Найти максимальное возможное значение суммы площадей трех кругов.