Олимпиада «Росатом»

Найти $x$, при которых числа $\log_2(6\sin x)$, $\log_{2\cos x}(6\sin x)$ и $\log_{2\cos x}4$ могут быть тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Найти решения $(x;y)$ системы \[ \begin{cases} \sin(2x+y)=-1,\\ \cos(x-y)=1 \end{cases} \] в прямоугольнике $-\pi\leqslant x\leqslant\pi/2$, $-\pi/2\leqslant y\leqslant\pi/2$.

Отрезок $[A;B]$ длины 5 двигается на координатной плоскости так, что его концы лежат на параболе $y=2x^2$. Точка $M$ — середина отрезка $[A;B]$. Найти минимально возможное значение расстояния точки $M$ до оси абсцисс, а также абсциссу точки $M$, при которой оно достигается.

Код замка состоит из трех цифр от 0 до 9. Замок открывается, если сумма цифр кода делится на 3. Найти вероятность того, что случайно набранный код откроет замок.

При каких $a$ система уравнений \[ \begin{cases} \left|x\cos a+y\sin a-\dfrac{3}{\sqrt{2}}\right|+|y\cos a-x\sin a|=\dfrac{3}{\sqrt{2}},\\ |x-y|+|x+y|=8 \end{cases} \] имеет единственное решение?

В правильной четырехугольной пирамиде противоположные боковые грани перпендикулярны. Высота пирамиды равна $h$. Найти радиус шара, касающегося ребер основания и боковых ребер пирамиды или их продолжений.