Олимпиада «Росатом»

Петя написал в своей тетради многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами и предложил Васе угадать его степень. Вася задал Пете два вопроса: «Чему равно значение многочлена при $x=-3$?» и «Чему равен остаток от деления многочлена на $(x-n)$, где $n$ — его степень?». Получив ответы $1$ и $6$ соответственно, Вася уверенно назвал степень многочлена. Как он это сделал? Какова степень многочлена?

При каких целых $n$ функция \[ f(x)=\sin nx\cdot\cos\dfrac{7x}{n^2} \] имеет период $T=9\pi$?

Представить число $2021$ в виде суммы трех взаимно простых чисел.

На детском новогоднем празднике раздавали шоколадные и фруктовые конфеты. Дети подходили к деду Морозу, залезали рукой в его мешок и вынимали из него по две конфеты. Когда Петя подошел к мешку, он понял, что шоколадных конфет в мешке почти не осталось и вероятность получить две шоколадные конфеты в три раза меньше, чем шоколадную и фруктовую. Какое наименьшее число шоколадных конфет могло находиться в мешке деда Мороза в момент, когда Петя забирал свои конфеты, если после него еще не менее $10$ детей получили свои конфеты до того, как мешок опустел?

При каких $\alpha$ система уравнений \[ \begin{cases} (x-4\cos\alpha)^2+(y-4\sin\alpha)^2=1,\\ (x-5\cos2\alpha)^2+(y-5\sin2\alpha)^2=9 \end{cases} \] имеет единственное решение?

Длины всех ребер (боковых и основания) тетраэдра $ABCD$ равны $1$. На ребре $AB$ расположена точка $M$ так, что $AM:AB=1:3$. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $CM$ и $AD$.