Олимпиада «Росатом»

Для рентабельности работы таксопарк должен выпускать на линию не менее $12$ машин ежедневно. Городские власти, борясь за экологию, требуют, чтобы каждое городское такси работало не более $6$ дней в неделю. Какое минимальное число автомобилей должно быть в таксопарке, чтобы он был рентабельным и соблюдал экологию? Дни, когда автомобили не выходят на линию, определяет руководство таксопарка.

Решить уравнение \[ \dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{1}{\sin2x}+\dfrac{1}{\sin3x}=\dfrac{1}{\sin x+\sin2x+\sin3x} \] при условии, что $\sin x\gt 0$.

Для каждого натурального $n$ обозначим через $a(n)$ количество целых чисел $m\in[1;n]$ взаимно простых с $n$. Найти простое число $p$, для которого \[ a\left(p^2\right)+a\left(p^3\right)+a\left(p^4\right)+\ldots+a\left(p^{2025}\right)=3^{2025}-3. \]

Найти все пары чисел $(x;y)$, удовлетворяющие неравенству \[ 4^x\left(1+\lg^4y\right)+\lg^2y\left(1+16^x\right)\geqslant\left(1+16^x\right)\left(1+\lg^4y\right). \]

Решить уравнение \[ \left(x^2+\sqrt{x^4+1}\right)\left(4-5x+\sqrt{17-40x+25x^2}\right)=1. \]

На ребрах $AB$, $CD$, $DB$ треугольной пирамиды $ABCD$ расположены точки $M$, $N$, $P$ соответственно, причем $AM:MB=1$, $CN:ND=2$, $DP:PB=3$. Через точки $M$, $N$, $P$ проведена плоскость, пересекающая прямую $AC$ в точке $R$. Найти отношение длин отрезков $CR:RA$.