Олимпиада «Росатом»

Петя посмотрел на свои часы и обнаружил, что часовая и минутная стрелки составляют $\alpha^\circ$. Спустя час угол между стрелками не изменился. Найти значения $\alpha^\circ$, при котором такое возможно.

При каких значениях $a$ и $b$ уравнения \[ f(x)=0\quad\text{и}\quad f\bigl(f(x)\bigr)=0 \] равносильные (имеют одинаковое непустое множество решений), где $f(x)=(b+1)x^2-2ax+b$?

На листе бумаги Ваня написал простое число $p$. Прибавив к $p$ его последнюю цифру, увеличенную на $1$, Петя получил новое число $q$. Известно, что если оно окажется простым, Петя получит приз и сможет повторить описанную процедуру еще раз и, возможно, снова получит приз и т. д. Какое наименьшее трехзначное простое число должен написать Ваня, чтобы Петя смог получить максимальное число призов.

Точки $A$ и $B$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $C$ и $D$ на прямую $AB$. Длины отрезков $CA$, $DB$ и $AB$ равны $1$, $3$ и $3$ соответственно. На отрезке $AB$ взята точка $M$ так, что длина отрезка $AM$ равна $x$. Найти наименьшее возможное значение выражения \[ \sqrt{1+x^2}+\sqrt{9+(3-x)^2}. \]

В остроугольном треугольнике $ABC$ сумма длин сторон $AC$ и $BC$ равна $4$. Для любой точки $D$ на прямой $AB$ ($D\not\equiv A,B$) рассматривается величина $m$, равная сумме радиусов окружностей, описанных около треугольников $ACD$ и $BCD$. Найти наименьшее значение $m$.