Олимпиада «Шаг в будущее»

Найти наименьшее значение выражения \[ 2x^2-14x+42+2\sqrt{x^2-10x+34}\cdot\sqrt{x^2-4x+8}. \] В ответ запишите квадрат этого значения.

Двое рабочих должны были изготовить по 36 деталей. Второй рабочий начал работать на 24 минуты позднее первого. По две трети задания они выполнили к одному времени, и чтобы закончить работу вместе с первым рабочим, второй сделал за него две детали. Сколько деталей в час изготавливал второй рабочий?

В прямоугольный треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся его сторон в точках $P$, $Q$ и $R$. Найдите площадь треугольника $PQR$, если длины катетов треугольника $ABC$ равны 3 и 4.

Числа $x$, $y$, $z$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Числа $y$, $z$, $t$ — последовательные члены геометрической прогрессии. \[ x+t=21,\quad z+y=18. \] Найдите числа $x$, $y$, $z$, $t$. В ответ выпишите значение $x$. Если таких значений несколько, то выпишите большее из них.

Из бутыли, до краёв наполненной $12\%$-ным раствором соли (по объёму), отлили 1 л раствора, долили до краёв бутыль водой и перемешали. Затем отлили ещё 1 л получившегося раствора, снова полностью долили водой и перемешали. В бутыли оказался $3\%$-ный раствор соли. Какова вместимость бутыли (в литрах)?

$A$ — множество чисел, делящихся на 3; $B$ — множество чисел, дающих при делении на 4 остаток 1. $C$ — множество простых чисел. На отрезке $[100;200]$ найдите количество чисел, принадлежащих множеству.

Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$, радиусы которых 1 и $\sqrt2$, соответственно. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, причем расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ равно 2. Найти длину хорды $AC$ окружности $\omega_2$, середина которой лежит на окружности $\omega_1$. В ответ запишите квадрат длины хорды $AC$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых среди корней уравнения \[ 2x^2-16x+35=a|x-3| \] будет ровно три положительных. В ответе укажите произведение наименьшего целого значения параметра и количества изолированных точек в полученном множестве значений параметра.

Известно, что арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, разность прогрессии равна 7 и сумма первых нескольких членов прогрессии равна 2744. Найдите все возможные значения первого члена прогрессии. В ответ запишите их сумму.