Олимпиада «Шаг в будущее»

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми равно 12 км, одновременно вышел пешеход и выехал автобус. Доехав до пункта B менее чем за один час, автобус, не останавливаясь, повернул обратно и стал двигаться по направлению к пункту A со скоростью, в два раза большей первоначальной. Через 12 мин после своего отправления из пункта B автобус встретился с пешеходом. Определите наибольшее возможное целое значение скорости (в км/ч) пешехода, и для этого значения скорости пешехода определите первоначальную скорость автобуса (в км/ч). В ответ запишите сумму найденных значений скоростей пешехода и автобуса.

Сколько корней имеет уравнение \[ \sqrt[3]{|x|}+10[x]=10x? \] ($[x]$ — целая часть числа $x$, т. е. $[x]\in\mathbb{Z}$, $[x]\leqslant x\lt [x]+1$).

Решите неравенство \[ 2\sqrt{x^2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{\pi}{6x^2}+\frac{\pi}{2}\geqslant\frac{\pi}{3}|x|-\left(\frac{1}{x^2}-3\right)\arcsin\left(\frac{x}{2}\right). \] В ответ запишите сумму всех целых значений $x$, удовлетворяющих этому неравенству.

Сколькими способами можно погрузить семь разных изделий (3 по 2 тонны, 4 по 1 тонне) в два фургона грузоподъемностями 6 т и 5 т, если расположение грузов внутри фургона не важно?

Числа от 100 до 999 выписаны без пробелов. С каким остатком полученное 2700-значное число делится на 7?

Какое наименьшее расстояние может быть между двумя точками, одна из которых лежит на графике функции $y=x^2$, другая — на кривой, заданной уравнением \[ 4x^2+4y^2-48x-24y+163=0. \] В ответ запишите квадрат найденного расстояния.

В треугольнике $ABC$, площадь которого равна $180\sqrt{3}$, проведены биссектриса $AD$ и высота $AH$. Окружность радиуса $\dfrac{105\sqrt{3}}{4}$ с центром, лежащим на прямой $BC$, проходит через точки $A$ и $D$. Найдите радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности, если $BH^2-HC^2=768$.

Найдите наименьшее целое значение параметра $a$, при котором уравнение \[ x^2+2x+a^2+2a-5=2\left(f\left(\frac{1}{x}\right)-ax\right) \] имеет единственное решение. Функция $f(t)$ задается соотношением \[ f(t)=\frac{\sqrt[3]{(27\cdot t^2+4)(t+2)+32t}}{t-\sqrt{t^2}} \] при всех возможных значениях $t$.

В правильной четырехугольной пирамиде $TABCD$ через центр основания $ABCD$ проведено сечение плоскостью параллельно медиане $AM$ боковой грани $TAB$ и апофеме $TK$ боковой грани $TCD$. Найдите объем пирамиды с вершиной в точке $T$, основанием которой является указанное выше сечение, если высота пирамиды $TABCD$ равна 12, а расстояние между прямой $AM$ и плоскостью сечения равно $\sqrt{3}$.