Олимпиада «Шаг в будущее»

Числа $u$, $v$, $w$ являются корнями уравнения $x^3-3x-1=0$. Найдите $u^9+v^9+w^9$.

В лаборатории имеются колбы двух размеров (объемом $V$ и объемом $V/3$) в суммарном количестве 100 штук, причем колб каждого размера не менее 2. Лаборант поочередно случайно выбирает две колбы, и первую из них полностью заполняет 70-процентным раствором соли, а вторую полностью заполняет 40-процентным раствором соли. Затем он сливает содержимое этих двух колб в одну чашу и определяет процентное содержание соли в ней. При каком наименьшем количестве больших колб $N$ событие «процентное содержание соли в чаше находится в пределах от $50\%$ до $60\%$ включительно» будет случаться реже события «при случайном бросании двух симметричных монет выпадает орел и решка (в любом порядке)»? Ответ обосновать.

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ длины сторон $AB$ и $BC$ равны, $DB$ — биссектриса угла $ADC$, $AD:DC=4:3$. Найдите косинус угла $AKB$, если $K$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, и $BK:KD=1:3$.

Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} (ay-ax+2)(4y-3|x-a|-x+5a)=0,\\ \sqrt{x^2y^2}=4a \end{cases} \] имеет шесть различных решений.

В тетраэдре $ABCD$ суммы трёх плоских углов при каждой вершине равны $180^\circ$. Найдите объём тетраэдра, если $BC=4$, $\cos\angle BAC=3/4$, $\sin\angle CBD=5\sqrt7/16$.

По программе реновации было решено разобрать старый дом и на его месте построить новый. При разборе старого дома возникло две проблемы. 1) Скопление строительного лома перекрыло подход к некоторым точкам строительной площадки, между которыми необходимо было промерить расстояние. Прораб промерил расстояние от точки $C$ до точки $A$ и от точки $C$ до точки $B$ (см. рис.). Оказалось, что $AC=4$ м, $BC=10$ м. Кроме того, ему удалось определить расстояния $CR=1$ м, $VR=3$ м, $CV=2{,}5$ м для точек $R$ и $V$, расположенных на продолжениях прямых дорожек, соединяющих объекты $A$, $C$ и $C$, $B$ соответственно.
Определите расстояние между точками $A$ и $B$ (промерить это расстояние на площадке не представлялось возможным из-за завала) и площадь части строительной площадки $CADB$ при условии, что расстояния $CD$ и $BD$ вдвое больше расстояния $CB$.
2) Из земли торчал негнущийся кусок арматуры — штырь, высота которого над землей $0{,}5$ м. Попытки выдернуть его из земли не привели к успеху. Тогда рабочие сдвинули его бульдозером так, что конец штыря сравнялся с поверхностью земли и оказался на расстоянии $1{,}5$ м от первоначальной точки входа штыря в землю. Найдите длину части штыря, скрытую в земле, предполагая, что его нижний конец не сместился.