Олимпиада «Шаг в будущее»

Найдите наименьшее натуральное число, имеющее ровно $42$ натуральных делителя (включая единицу и само число).

Решите неравенство \[ \dfrac{\left(x+9-4\sqrt{x+6}\right)\log_2(x+1)}{\left(4^x-3\cdot2^x+2\right)\log_5(5-x)}\geqslant0. \]

Окружность радиуса $4$ касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, а окружность радиуса $12$ внешним образом касается первой окружности и сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$. Общая касательная к этим окружностям, не содержащая сторону $BC$, пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите площадь треугольника $AMN$, если $\angle AMN=30^\circ$, $\angle ANM=90^\circ$.

Найдите площадь плоской фигуры, которая на координатной плоскости $Oxy$ задана системой неравенств \[ \begin{cases} x^2+y^2+2(y-x)\leqslant23,\\ y+|x-2|+1\leqslant0. \end{cases} \]

Укажите все значения $a$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} \log_{|x+4|}(ax+5a)=2\log_{|x+4|}(x+y),\\ x+2+\sqrt{x^2+4x+y-2}=0 \end{cases} \] имеет два различных решения, и найдите эти решения при каждом $a$.

Найдите объемы частей, на которые делит правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$ плоскость, параллельная диагонали $AC_1$ боковой грани $AA_1C_1C$, проходящая через середину стороны $AB$ основания $ABC$ и точку $M$, лежащую на стороне $B_1C_1$, если $MC_1=3B_1M$, расстояние от точки $C$ до секущей плоскости равно $\sqrt2$, а сторона основания призмы равна $4\sqrt7$.