Олимпиада «Шаг в будущее»

В состав автоматической линии по обработке корпусных деталей входило несколько одинаковых станков. Ежедневно линия обрабатывала $38880$ деталей. После модернизации производства все станки линии заменили на более производительные, но тоже одинаковые, а их число увеличилось на $3$. Автоматическая линия стала обрабатывать в день $44800$ деталей. Сколько деталей в день обрабатывал каждый станок первоначально?

Решите неравенство $4\sin x-\sqrt{\cos y}-\sqrt{\cos y-16\cos^2x+12}\geqslant2$.

Найдите множество значений функции $y=f^{[2019]}(x)$, где \[ f(x)=\log_4\dfrac{\cos2x-2\cos^2x}{\cos x-1}, \] $f^{[n]}(x)=\underbrace{f(f(f(\ldots(f}_{n\text{ раз}}(x)\ldots)$ для любого натурального числа $n$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ боковая сторона $AB$ равна $2$, отрезок $AD$ является биссектрисой. Через точку $D$ проведена касательная $DH$ к окружности, описанной около треугольника $ADB$, точка $H$ лежит на стороне $AC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $CD=CH\sqrt2$.

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \left(\cos2x+14\cos x-14a\right)^7-\left(6a\cos x-4a^2-1\right)^7=(6a-14)\cos x+2\sin^2x-4a^2+14a-2 \] имеет два различных решения на отрезке $\left[-\frac{2\pi}{3};\pi\right]$. Укажите эти решения для каждого найденного $a$.

Найдите площадь сечения правильной треугольной пирамиды $TABC$ плоскостью, проходящей через центр сферы описанной около пирамиды, и через середину бокового ребра $TA$ и параллельной медиане $AD$ боковой грани $ATC$, если стороны основания равны $4$, а центр сферы делит высоту пирамиды в отношении $3:1$, считая от вершины.