Олимпиада «Шаг в будущее»

Решите уравнение \[ x^2-6\sqrt{x^2+1}+11-\cos\dfrac{x^2-4+x\sqrt2}{18}=0. \]

Дима посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 15 см на 20 см круглую кляксу радиусом 2 см. Сразу после этого Дима посадил ещё одну такую кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы пересекаются.

Дан треугольник $ABC$, где $BA=5$, $BC=8$. В треугольник вписана окружность, касающаяся стороны $BC$ в точке $P$. Известно, что $BP=3$. Найдите площадь треугольника $BMP$, где $M$ — точка касания окружности со стороной $AC$.

Подряд в строчку выписана 2018 цифр. Известно, что в этой строчке каждое двузначное число, записываемое двумя соседними цифрами (в том порядке, в каком они записаны), делится на 17 или на 23. В этой строчке последняя цифра 5. Какая цифра в строчке первая? Дать обоснованный ответ.

Решите неравенство \[ \left(2+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}\right):\left(-2+\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}\right)\geqslant\sqrt{x-8}. \]

На плоскости $xOy$ укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых, заданных уравнением \[ ax^2+(1-6a)x+2-a-2y+ay^2=0. \]

Пусть $S_n$ — сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии $\{a_n\}$. Известно, что \[ S_{n+1}=2n^2-21n-23. \]
1. Укажите формулу $n$-го члена этой прогрессии.
2. Найдите наименьшую по модулю сумму $S_n$.
3. Найдите наименьшее $n$, при котором $S_n$ будет квадратом целого числа

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с катетами $AC=3$ и $BC=2$ проведены медиана $CM$ и биссектриса $CL$.
1. Найдите отношение площадей треугольников $CML$ и $ABC$.
2. Найдите тангенс угла $MCL$.