Всероссийская олимпиада школьников по математике

Дана арифметическая прогрессия $\{a_n\}$ такая, что \[\begin{aligned} a_1+a_2&=9,\\ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_8&=108.\end{aligned}\] Найдите $a_1$ и разность этой арифметической прогрессии.

У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 3, 5, 7, 8. Он случайным образом составляет из них число вида \[\overline{ab}^{\,\overline{cd}}.\] С какой вероятностью это число делится на 3? Выражение $\overline{ab}$ обозначает двухзначное число, состоящее из цифр $a$ и $b$.

Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ отметили точку $E$ — пересечение лучей $AD$ и $BC$ и точку $F$ — пересечение лучей $AB$ и $DC$. Оказалось, что $CD=DE$, $\angle AEB=51^\circ$ и угловые меры дуг $BC$ и $AD$ находятся в соотношении $2:5$.
1. Найдите угол $AFD$. Ответ выразите в градусах.
2. Найдите величину меньшей дуги $BC$. Ответ выразите в градусах.

Найдите количество пар различных натуральных чисел $a,b$ таких, что $1\leqslant a\lt b\leqslant100$ и \[\bigl\lfloor\sqrt{a}\bigr\rfloor+\bigl\lceil\sqrt{b}\bigr\rceil=\bigl\lceil\sqrt{a}\bigr\rceil+\bigl\lfloor\sqrt{b}\bigr\rfloor.\] Напомним, что $\lfloor x\rfloor$ обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное $x$, а $\lceil x\rceil$ — наименьшее целое число, большее или равное $x$.

Дана колода из 300 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 300 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник $3\times100$ (3 строки, 100 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?

Толя задумал два квадратных трёхчлена. Оказалось, что первый трёхчлен имеет корни 1 и 2, а один из двух корней второго трёхчлена равен $-5$. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты $(3,4)$, а вторая — лежит на оси ординат.
1. Найдите ординату второй точки пересечения графиков.
2. Найдите произведение корней второго трёхчлена.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ площадь треугольника $BCC_1$ равна 1, треугольника $ACC_1$ — 34.
1. Пусть $S$ — площадь треугольника $CDC_1$. Найдите $S^2$.
2. Оказалось, что площадь треугольника $ABC_1$ равна 46. Чему равна площадь треугольника $ABC$?

Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву «a», «b» или «c». Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий:

• Приписывает сразу после буквы «a» букву «c»;
• Приписывает сразу перед буквой «b» букву «c»;
• Приписывает сразу после буквы «c» ещё одну букву «c»;
• Стирает букву «c» и вписывает на том же месте комбинацию «ba».

Через 9 минут, получив последовательность из 10 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 10 букв, в которых ровно 2 буквы «c», может получить Петя?