Всероссийская олимпиада школьников по математике

Малыш может самостоятельно съесть торт за 30 минут, а Карлсон — за 6 минут.
1. Малыш и Карлсон нашли 12 тортов и решили их съесть. Малыш съел несколько тортов; за это же время Карлсон успел съесть все остальные. Сколько тортов съел Карлсон?
2. За сколько минут Малыш и Карлсон съели бы один торт, если бы действовали сообща?

Четырёхзначное число $N$ состоит из ненулевых цифр, сумма которых равна 20. Известно, что сумма третьей и четвёртой цифры числа $N$ делится на его вторую цифру (нумерация цифр начинается слева).
1. Какое наименьшее значение может принимать $N$?
2. Какое наибольшее значение может принимать $N$?

На прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Получилось шесть отрезков: $AB$, $BC$, $CD$, $AC$, $BD$, $AD$. Кирилл измерил длины пяти из этих отрезков и выписал получившиеся числа в порядке возрастания: 1, 4, 5, 10, 14.
1. Укажите любое возможное значение длины шестого отрезка.
2. Чему может равняться длина шестого отрезка? Укажите все возможные варианты.

У Кирилла, Льва, Миши и Николая есть несколько монет, в сумме всего 48. Они сделали следующие заявления:

• Кирилл: «У меня монет в 2 раза меньше, чем у остальных в сумме»;
• Лев: «У меня монет в 3 раза меньше, чем у остальных в сумме»;
• Миша: «У меня монет в 4 раза меньше, чем у остальных в сумме»;
• Коля: «У меня монет в 5 раз меньше, чем у остальных в сумме».

Известно, что ровно один из них обманул.
1. Кто из ребят обманул?
2. Сколько монет у того, кто обманул?

На рисунке изображены пять прямоугольников, площади четырёх из них указаны. Найдите площадь пятого прямоугольника.

В корзине лежат:

• яблоки: 5 красных, 12 жёлтых и 16 зелёных;
• груши: 14 красных, 13 жёлтых и 8 зелёных.

1. При каком наименьшем $k$ среди произвольно выбранных $k$ фруктов обязательно найдутся одноцветные яблоко и груша?
2. При каком наименьшем $k$ среди произвольно выбранных $k$ фруктов обязательно найдутся разноцветные яблоко и груша?

Знакопеременная сумма цифр числа — это его сумма цифр, в которой у каждой следующей цифры стоит знак, противоположный знаку у предыдущей цифры. Например,

• у числа 123 знакопеременная сумма цифр равна $1-2+3=2$;
• у числа 12 знакопеременная сумма цифр равна $1-2=-1$;
• у числа 1 знакопеременная сумма цифр равна 1.

Отличник Денис вычислил знакопеременную сумму цифр для всех натуральных чисел от 1 до 999 включительно, а затем сложил все полученные результаты. Какое число получил Денис?

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут, и хитрецы, которые могут говорить что угодно.
Однажды 30 островитян встали в круг. Каждого из них спросили: «Есть ли среди двух твоих соседей хотя бы один хитрец?». Было получено 13 ответов «Да» и 17 ответов «Нет». Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 30 островитян?