Всероссийская олимпиада школьников по математике

Квадрат разрезали на четыре равных прямоугольника, а из них сложили большую букву П, как на рисунке, периметр которой равен 56.
Чему равен периметр первоначального квадрата?

Числа от 1 до 9 расставили в клетки таблицы $3\times3$ так, что сумма чисел на одной диагонали равна 7, а на другой — 21. Чему равна сумма чисел в пяти закрашенных клетках?

Четверо ребят гуляли вдоль аллеи и решили посчитать количество елей, высаженных вдоль неё.

• Аня сказала: «Вдоль аллеи всего 15 елей».
• Боря сказал: «Количество елей делится на 11».
• Вера сказала: «Елей точно меньше 25».
• Гена сказал: «А я уверен, что их количество делится на 22».

Один мальчик и одна девочка сказали правду, а остальные двое ошиблись. Сколько елей растёт вдоль аллеи?

В классе учатся 20 человек. Размышляя, каким девочкам отправить валентинку на 14 февраля, каждый мальчик составил список из всех симпатичных ему девочек-одноклассниц (возможно, пустой). Известно, что не существует трёх мальчиков, у которых списки совпадают по количеству девочек. Какое наименьшее количество девочек может быть в классе?

На бал пришли дамы и джентльмены — всего меньше 50 человек. Во время первого танца лишь четверть дам не были приглашены на танец, и $2/7$ от общего количества джентльменов никого не пригласили. Сколько человек пришло на бал? (Для танца некоторый джентльмен приглашает некоторую даму.)

Про четырёхугольник $ABCD$ известно, что $AB=BD$, $\angle ABD=\angle DBC$, $\angle BCD=90^\circ$. На отрезке $BC$ отмечена точка $E$ такая, что $AD=DE$. Чему равна длина отрезка $BD$, если известно, что $BE=7$, $EC=5$?

Про три действительных числа $p$, $q$ и $r$ известно, что \[ p+q+r=5, \qquad \frac{1}{p+q}+\frac{1}{q+r}+\frac{1}{p+r}=9. \] Чему равняется выражение \[ \frac{r}{p+q}+\frac{p}{q+r}+\frac{q}{p+r}? \]

Маша выписала на доску в порядке возрастания все натуральные делители некоторого числа $N$ (самый первый выписанный делитель — 1, самый большой выписанный делитель — само число $N$). Оказалось, что третий с конца делитель в 21 раз больше второго с начала. Какое наибольшее значение может принимать $N$?