Всероссийская олимпиада школьников по математике

8 класс, школьный этап 2022/23 уч. г. (Москва)

8 задач

Исходный PDF Искать в этом варианте
Задача 1
14382
Клетки пирамиды заполнили по следующему правилу: над каждыми двумя соседними числами записали их среднее арифметическое. Некоторые числа стёрли, и получилась конструкция, изображённая на рисунке. Какое число было в правой нижней клетке? (Среднее арифметическое двух чисел — это их сумма, разделённая на 2.)
пирамида из клеток в четыре ряда: в нижнем ряду 4 клетки, выше — 3, затем 2 и наверху 1; от каждых двух соседних клеток стрелки ведут к клетке, стоящей над ними. Верхняя клетка: 18. Второй ряд (слева направо): 21, пусто. Третий ряд: пусто, пусто, 14. Нижний ряд: 42, пусто, пусто, «?».пирамида из клеток в четыре ряда: в нижнем ряду 4 клетки, выше — 3, затем 2 и наверху 1; от каждых двух соседних клеток стрелки ведут к клетке, стоящей над ними. Верхняя клетка: 18. Второй ряд (слева направо): 21, пусто. Третий ряд: пусто, пусто, 14. Нижний ряд: 42, пусто, пусто, «?».
Ответ:
Решение:
Задача 2
15400
Малыши Коля и Маша учатся считать. В первую секунду Коля назвал число 1, во вторую — 2, в третью — 3 и т. д. Если Маше нравится число, названное Колей, то она записывает его себе в тетрадь, в конец текущей строки (одно число за другим, без пробелов и запятых). Спустя $n$ секунд у Маши в тетради оказалось записано
2 7 2 6 2 5 2 4 2 3.
Какое наименьшее значение может принимать $n$?
Ответ:
Решение:
Задача 3
14701
На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD$ отмечена точка $K$. Точка $H$ на отрезке $AK$ такова, что $\angle AHD=90^\circ$. Оказалось, что $AK=BC$. Сколько градусов составляет угол $ADH$, если $\angle CKD=71^\circ$?
прямоугольник ABCD (B и C — верхние вершины, A и D — нижние), точка K на стороне BC немного правее её середины; проведены отрезки AK и KD и перпендикуляр DH к AK (прямой угол при H). Равные отрезки BC и AK отмечены штрихами; у вершины K отмечен угол CKD=71^ , у вершины D — искомый угол ADH («?»).прямоугольник ABCD (B и C — верхние вершины, A и D — нижние), точка K на стороне BC немного правее её середины; проведены отрезки AK и KD и перпендикуляр DH к AK (прямой угол при H). Равные отрезки BC и AK отмечены штрихами; у вершины K отмечен угол CKD=71^ , у вершины D — искомый угол ADH («?»).
Ответ:
Решение:
Задача 4
14175
По кругу стоят 36 детей, каждый из них одет в красную или синюю кофту. Известно, что рядом с каждым мальчиком стоит девочка, а рядом с каждой девочкой стоит человек в синей кофте. Найдите наибольшее возможное количество девочек в красных кофтах.
Ответ:
Решение:
Задача 5
15189
Из города в деревню выехал автомобиль, одновременно с ним из деревни в город выехал велосипедист. Когда автомобиль и велосипедист встретились, автомобиль сразу же развернулся и поехал обратно в город. В итоге велосипедист приехал в город на 35 минут позже автомобиля. Сколько минут затратил велосипедист на весь путь, если известно, что его скорость в 4,5 раза меньше скорости автомобиля?
Ответ:
Решение:
Задача 6
15519
Паша выписал в порядке возрастания все натуральные делители натурального числа $k$ и их пронумеровал: первый, второй, …
Паша заметил, что если шестой делитель умножить на тринадцатый делитель, то получится исходное число $k$.
Сколько натуральных делителей имеет число $k$?
Ответ:
Решение:
Задача 7
14986
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Оказалось, что $CH=AB+AH$. Сколько градусов составляет угол $BAC$, если $\angle ABC=84^\circ$?
остроугольный треугольник ABC (B — вверху, A — внизу слева, C — справа), высота BH, основание H на стороне AC ближе к A, прямой угол при H отмечен; у вершины B подписан угол 84^ , у вершины A — искомый угол («?»).остроугольный треугольник ABC (B — вверху, A — внизу слева, C — справа), высота BH, основание H на стороне AC ближе к A, прямой угол при H отмечен; у вершины B подписан угол 84^ , у вершины A — искомый угол («?»).
Ответ:
Решение:
Задача 8
14102
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут.
Однажды собрались 10 жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 10 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из фраз:
  • «Среди собравшихся нет рыцаря, номер футболки которого больше моего».
  • «Среди собравшихся нет лжеца, номер футболки которого меньше моего».
Известно, что каждая из этих фраз прозвучала ровно 5 раз. Сколько рыцарей могло быть среди этих 10 жителей? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
← 7 класс, школьный этап 2022/23 уч. г. (Москва) 9 класс, школьный этап 2022/23 уч. г. (Москва) →