Всероссийская олимпиада школьников по математике

Два приведённых квадратных трёхчлена $f(x)$ и $g(x)$ таковы, что каждый из них имеет по два корня, и выполняются равенства $f(1)=g(2)$ и $g(1)=f(2)$. Найдите сумму всех четырёх корней этих трёхчленов.

Каждый из 10 человек — либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый из них задумал какое-то целое число. Затем первый сказал: «Моё число больше 1», второй сказал: «Моё число больше 2», $\ldots$, десятый сказал: «Моё число больше 10». После этого все десять, выступая в некотором порядке, сказали: «Моё число меньше 1», «Моё число меньше 2», $\ldots$, «Моё число меньше 10» (каждый сказал ровно одну из этих десяти фраз). Какое максимальное число рыцарей могло быть среди этих 10 человек?

По кругу расставлены 100 различных натуральных чисел. Вася разделил каждое из них с остатком на следующее по часовой стрелке; при этом оказалось, что остатки, полученные Васей, принимают всего два различных значения. Петя разделил каждое из чисел с остатком на следующее против часовой стрелки. Докажите, что все остатки, полученные Петей, различны.

Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. На отрезках $BH$ и $CH$ отмечены точки $B_1$ и $C_1$ соответственно так, что $B_1C_1\parallel BC$. Оказалось, что центр окружности $\omega$, описанной около треугольника $B_1HC_1$, лежит на прямой $BC$. Докажите, что окружность $\Gamma$, описанная около треугольника $ABC$, касается окружности $\omega$.

Каждая грань куба $1000\times1000\times1000$ разбита на $1000^2$ квадратных клеток со стороной 1. Какое наибольшее количество этих клеток можно закрасить так, чтобы никакие две закрашенные клетки не имели общей стороны?

Даны четыре последовательных натуральных числа, б\'{о}льших 100. Докажите, что из них можно выбрать три числа, сумма которых представляется в виде произведения трёх различных натуральных чисел, б\'{о}льших 1.

На прямоугольном столе лежат несколько картонных прямоугольников. Их стороны параллельны сторонам стола. Размеры прямоугольников могут различаться, они могут перекрываться, но никакие два прямоугольника не могут иметь 4 общих вершины. Может ли оказаться, что каждая точка, являющаяся вершиной прямоугольника, является вершиной ровно трёх прямоугольников?

Дан треугольник $ABC$. На внешней биссектрисе угла $ABC$ отмечена точка $D$, лежащая внутри угла $BAC$, такая, что $\angle BCD=60^\circ$. Известно, что $CD=2AB$. Точка $M$ — середина отрезка $BD$. Докажите, что треугольник $AMC$ — равнобедренный.

На доске нарисован выпуклый $n$-угольник ($n\geqslant 4$). Каждую его вершину надо окрасить либо в чёрный, либо в белый цвет. Назовём диагональ разноцветной, если её концы окрашены в разные цвета. Раскраску вершин назовём хорошей, если $n$-угольник можно разбить на треугольники разноцветными диагоналями, не имеющими общих точек (кроме вершин). Найдите количество хороших раскрасок.

Петя и Вася играют в следующую игру. Петя выбирает 100 (не обязательно различных) неотрицательных чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{100}$, сумма которых равна 1. Вася разбивает их на 50 пар по своему усмотрению, считает произведение чисел в каждой паре и выписывает на доску наибольшее из 50 полученных произведений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, а Вася — чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при правильной игре?