Всероссийская олимпиада школьников по математике

В каждой точке $A$ плоскости стоит вещественное число $f(A)$. Известно, что если $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, то $f(M)=f(A)+f(B)+f(C)$. Докажите, что $f(A)=0$ для всех точек $A$.

Верно ли, что при любых ненулевых целых числах $a$ и $b$ система \[ \begin{cases} \operatorname{tg}(13x)\operatorname{tg}(ay)=1,\\ \operatorname{tg}(21x)\operatorname{tg}(by)=1 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение?

Даны $n$ монет попарно различных масс и $n$ чашечных весов, $n\gt 2$. При каждом взвешивании разрешается выбрать какие-то одни весы, положить на их чаши по одной монете, посмотреть на показания весов и затем снять монеты обратно. Какие-то одни из весов (неизвестно, какие) испорчены и могут выдавать случайным образом как правильный, так и неправильный результат. За какое наименьшее количество взвешиваний можно заведомо найти самую тяжёлую монету?

Дана треугольная пирамида $ABCD$. Сфера $\omega_A$ касается грани $BCD$, а также плоскостей остальных граней вне самих граней. Аналогично, сфера $\omega_B$ касается грани $ACD$, а также плоскостей остальных граней вне самих граней. Пусть $K$ — точка касания сферы $\omega_A$ с плоскостью $ACD$, а $L$ — точка касания сферы $\omega_B$ с плоскостью $BCD$. На продолжениях отрезков $AK$ и $BL$ за точки $K$ и $L$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $\angle CKD=\angle CXD+\angle CBD$ и $\angle CLD=\angle CYD+\angle CAD$. Докажите, что точки $X$ и $Y$ равноудалены от середины отрезка $CD$.

Радиусы пяти концентрических окружностей $\omega_0$, $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию со знаменателем $q$. При каком наибольшем $q$ можно нарисовать незамкнутую ломаную $A_0A_1A_2A_3A_4$, состоящую из четырёх отрезков равной длины, в которой $A_i$ лежит на $\omega_i$ при всех $i=0$, 1, 2, 3, 4?

На стороне $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC$ взята точка $D$. На меньшей дуге $CD$ окружности, описанной около треугольника $BCD$, выбрана точка $K$. Луч $CK$ пересекает прямую, параллельную $BC$ и проходящую через $A$, в точке $T$. Пусть $M$ — середина отрезка $DT$. Докажите, что $\angle AKT=\angle CAM$.

Даны непостоянный многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами и натуральное число $n$. Положим $a_0=n$, $a_k=P(a_{k-1})$ при всех натуральных $k$. Оказалось, что для любого натурального $b$ в последовательности $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$ есть число, являющееся $b$-й степенью натурального числа, большего 1. Докажите, что многочлен $P(x)$ — линейный.

Дано натуральное $n$. Из 26 единичных белых кубиков и одного чёрного кубика собирается куб $3\times3\times3$ так, что чёрный кубик находится в его центре. Из $n^3$ таких кубов с ребром 3 составили куб с ребром $3n$. Какое наименьшее количество белых кубиков можно перекрасить в красный цвет так, чтобы каждый белый кубик имел хотя бы одну общую вершину с каким-нибудь красным?