Всероссийская олимпиада школьников по математике

Велодорожка состоит из двух участков: сначала идет асфальтовый, а затем песчаный. Петя и Вася стартовали порознь (сначала Петя, а затем Вася), и каждый проехал всю дорожку. Скорость каждого мальчика на каждом из двух участков была постоянной. Оказалось, что они поравнялись в середине асфальтового участка, а также в середине песчаного. Кто из мальчиков затратил на всю дорожку меньше времени?

Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны 5 см, 12 см и 13 см. Можно ли разрезать его на несколько (больше одного) многоугольников, у каждого из которых площадь (измеренная в см$^2$) численно равна периметру (измеренному в см)?

Дано натуральное число $n$. На клетчатой доске $2n\times2n$ расставили $2n$ ладей так, что никакие две не стоят в одной горизонтали или одной вертикали. После этого доску разрезали по линиям сетки на две связных части, симметричных друг другу относительно центра доски. Какое наибольшее количество ладей могло оказаться в одной из частей? (Клетчатая фигура называется связной, если по этой фигуре от любой ее клетки можно добраться до любой другой, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетку.)

Даны натуральные числа $a$, $b$ и $c$. Ни одно из них не кратно другому. Известно, что число $abc+1$ делится на $ab-b+1$. Докажите, что $c\geqslant b$.

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность $\gamma$. Оказалось, что окружности, построенные на отрезках $AB$ и $CD$ как на диаметрах, касаются друг друга внешним образом в точке $S$. Пусть точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AB$ и $CD$ соответственно. Докажите, что перпендикуляр $\ell$ к прямой $MN$, восставленный в точке $M$, пересекает прямую $CS$ в точке, лежащей на $\gamma$.

Для натурального числа $n$ обозначим через $S_n$ наименьшее общее кратное всех чисел $1, 2, \ldots, n$. Существует ли такое натуральное число $m$, что $S_{m+1}=4S_m$?

На доску записали 99 чисел, среди которых нет равных. В тетрадку выписали $\dfrac{99\cdot98}{2}$ чисел — все разности двух чисел с доски (каждый раз из большего числа вычитали меньшее). Оказалось, что в тетрадке число 1 записано ровно 85 раз. Пусть $d$ — наибольшее число, записанное в тетрадке. Найдите наименьшее возможное значение $d$.

Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $AB\lt BC$. Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, а $H$ — основание высоты, опущенной из вершины $B$. Вписанная окружность касается стороны $AC$ в точке $K$. Прямая, проходящая через $K$ и параллельная $MH$, пересекает отрезок $MN$ в точке $P$. Докажите, что в четырехугольник $AMPK$ можно вписать окружность.

Найдите наибольшее число $m$ такое, что для любых положительных чисел $a$, $b$ и $c$, сумма которых равна 1, выполнено неравенство \[ \sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\geqslant m. \]

Куб $100\times100\times100$ разбит на миллион единичных кубиков; в каждом кубике расположена лампочка. Три грани большого куба, имеющие общую вершину, окрашены: одна красным, другая синим, а третья зеленым. Назовем столбцом набор из 100 кубиков, образующих блок $1\times1\times100$. У каждого из 30 000 столбцов есть одна окрашенная торцевая клетка; в этой клетке стоит переключатель — нажатие на этот переключатель меняет состояние всех 100 лампочек в столбце (выключенная лампочка включается, а включенная выключается). Изначально все лампочки были выключены. Петя нажал на несколько переключателей, получив ситуацию, в которой ровно $k$ лампочек горят. Докажите, что после этого Вася может нажать на несколько переключателей так, чтобы ни одна лампочка не горела, использовав не более $k/100$ переключателей с красной грани.