Всероссийская олимпиада школьников по математике

Мотоциклист Вася запланировал поездку из пункта А в пункт Б с постоянной скоростью. Первую половину пути он проехал со скоростью $v_1$ — на 15% меньшей, чем хотел. Затем он увеличил скорость до $v_2$ и приехал в пункт Б точно в тот момент, в какой и планировал. Найдите $v_2/v_1$.

В пиццерии в каждую пиццу обязательно кладут помидоры и моцареллу. При заказе пиццы надо выбрать одну или несколько начинок: ветчину, грибы, салями или курицу. Также надо выбрать размер пиццы — 25, 30, 35 или 40 сантиметров. Сколько вариантов пиццы можно заказать в пиццерии? Пиццы считаются разными, если они имеют разные размеры или различаются хотя бы одним видом начинки.

Рассмотрим 450 чисел, состоящих из одних девяток: \[9,\ 99,\ 999,\ \ldots,\ \underbrace{99\ldots9}_{450}.\] Сколько единиц в десятичной записи суммы этих 450 чисел?

Петя задумал составное натуральное число $N$, меньшее 1000. Он выписал на доску все натуральные делители $N$, не равные 1. Оказалось, что два наименьших числа на доске различаются на 39. Чему может быть равно $N$? Укажите все возможные варианты.

В выпуклом $n$-угольнике каждый угол составляет целое число градусов. Известно, что два угла этого $n$-угольника равны $63^\circ$ и $97^\circ$. Какое наибольшее значение может принимать $n$?

Действительное число $a$ таково, что уравнение $ax^2+(a+10)x-10-2a=0$ имеет два действительных корня, отличающихся в 3 раза. Чему может быть равно $a$? Укажите все возможные варианты.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\Omega$. Точка $M$ — середина дуги $AD$ окружности $\Omega$, не содержащей точек $B$ и $C$. Отрезки $BM$ и $CM$ пересекают отрезок $AD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.
Известно, что $AP:PQ:QD=1:3:2$. Вычислите значение выражения: \[\frac{AC\cdot BD}{AB\cdot CD}.\]

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собралось несколько жителей острова, и каждый из них произнёс по одной фразе:

• Один сказал: «Среди нас не более 9 рыцарей».
• Двое сказали: «Среди нас не более 8 рыцарей».
• Трое сказали: «Среди нас не более 7 рыцарей».
• …
• Девять человек сказали: «Среди нас не более 1 рыцаря».
• А все остальные сказали: «Среди нас не более 10 рыцарей».

Сколько человек могло сказать последнюю фразу? Укажите все возможные варианты.