Всероссийская олимпиада школьников по математике

На окружности отмечено 1000 точек, каждая окрашена в один из $k$ цветов. Оказалось, что среди любых пяти попарно пересекающихся отрезков, концами которых являются 10 различных отмеченных точек, найдутся хотя бы три отрезка, у каждого из которых концы имеют разные цвета. При каком наименьшем $k$ это возможно?

Пусть $n$ — натуральное число. Целое число $a\gt 2$ назовем $n$-разложимым, если $a^n-2^n$ делится на каждое число вида $a^d+2^d$, где $d$ — натуральный делитель $n$, отличный от $n$. Найдите все составные натуральные $n$, для которых существует $n$-разложимое число.

На прямой отмечено $n+1$ различных отрезков; одна из точек прямой принадлежит всем этим отрезкам. Докажите, что среди отмеченных отрезков можно выбрать различные отрезки $I$ и $J$, пересекающиеся по отрезку длины, не меньшей $\frac{n-1}{n}\,d$, где $d$ — длина отрезка $I$.

На стороне $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ отмечена точка $D$, а на продолжении стороны $BC$ за точку $C$ — точка $E$. Оказалось, что прямая, проходящая через $E$ и параллельная $AB$, касается окружности, описанной около треугольника $ADC$. Докажите, что одна из касательных, проведенных из точки $E$ к описанной окружности треугольника $BCD$, отсекает от угла $ABE$ треугольник, подобный треугольнику $ABC$.

Числа $b\gt 0$ и $a$ таковы, что квадратный трехчлен $x^2+ax+b$ имеет два различных корня, ровно один из которых лежит на отрезке $[-1;1]$. Докажите, что ровно один из этих корней лежит в интервале $(-b;b)$.

Внутри неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$, в котором $\angle ABC=60^\circ$, отмечена точка $T$ так, что $\angle ATB=\angle BTC=\angle ATC=120^\circ$. Медианы треугольника пересекаются в точке $M$. Прямая $TM$ пересекает вторично окружность, описанную около треугольника $ATC$, в точке $K$. Найдите $TM/MK$.

Натуральные числа $n\gt 20$ и $k\gt 1$ таковы, что $n$ делится на $k^2$. Докажите, что найдутся натуральные $a$, $b$ и $c$ такие, что $n=ab+bc+ca$.

Сотне мудрецов предложили следующее испытание. Их по очереди (в заранее известном порядке) приводят в зал. В зале смотритель предлагает мудрецу на выбор каких-то два различных числа из набора 1, 2, 3. Мудрец выбирает ровно одно из них, сообщает выбранное число смотрителю и уходит из зала. При этом до своего выбора мудрец имеет право узнать у смотрителя, какое из чисел выбрал каждый из двух предыдущих мудрецов (второй мудрец имеет право узнать про первого). Во время испытания любое общение между мудрецами запрещено. Если в конце сумма всех 100 чисел, выбранных мудрецами, окажется равной 200, то мудрецы провалили испытание; иначе они его выдержали. Докажите, что мудрецы могут заранее договориться о своих действиях так, чтобы гарантированно выдержать испытание.