Всероссийская олимпиада школьников по математике

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E$ и $F$, причем $E$ лежит между $B$ и $F$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Прямые $AE$ и $DF$ касаются окружности, описанной около треугольника $AOD$. Докажите, что они касаются и окружности, описанной около треугольника $EOF$.

Найдите все наборы натуральных чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{20}$ такие, что \[ x_{i+2}^2=\text{НОК}(x_{i+1},x_i)+\text{НОК}(x_i,x_{i-1}) \] при $i=1, 2, \ldots, 20$, где $x_0=x_{20}$, $x_{21}=x_1$, $x_{22}=x_2$.

В стране $N$ городов. Некоторые пары городов связаны двусторонними авиалиниями, каждая пара не более, чем одной. Каждая авиалиния принадлежит одной из $k$ компаний. Оказалось, что из любого города можно попасть в любой другой (возможно, с пересадками), но при закрытии всех авиалиний любой из компаний это свойство нарушается. Какое наибольшее количество авиалиний (при произвольных данных $N$ и $k$) могло быть в этой стране?

Дано натуральное число $n\geqslant4$ и $2n+4$ карточки, пронумерованные числами $1$, $2$, $\ldots$, $2n+4$. На карточке с номером $m$ написано вещественное число $a_m$, причем $[a_m]=m$. Докажите, что можно выбрать 4 карточки так, чтобы сумма чисел на первых двух карточках отличалась от суммы чисел на двух других карточках менее чем на $\dfrac{1}{n-\sqrt{n/2}}$.

Дана бесконечная клетчатая плоскость. Учительница и класс из 30 учеников играют в игру, делая ходы по очереди — сначала учительница, затем по очереди все ученики, затем снова учительница, и т. д. За один ход можно покрасить единичный отрезок, являющийся границей между двумя соседними клетками. Дважды красить отрезки нельзя. Учительница побеждает, если после хода одного из 31 игроков найдется клетчатый прямоугольник $1\times2$ или $2\times1$ такой, что у него вся граница покрашена, а единичный отрезок внутри него не покрашен. Смогут ли ученики помешать учительнице победить?

Дан многочлен $P(x)$ степени $n\gt 1$ с вещественными коэффициентами. Известно, что уравнение $P(P(P(x)))=P(x)$ имеет ровно $n^3$ различных вещественных корней. Докажите, что эти $n^3$ корней можно разбить на две группы с равными средними арифметическими.

Натуральные числа $n\gt 20$ и $k\gt 1$ таковы, что $n$ делится на $k^2$. Докажите, что найдутся натуральные $a$, $b$ и $c$ такие, что $n=ab+bc+ca$.

В окружность $\omega$ вписан пятиугольник $ABCDE$. Прямая $CD$ пересекает лучи $AB$ и $AE$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $EX$ и $BY$ пересекаются в точке $P$ и вторично пересекают окружность $\omega$ в точках $Q$ и $R$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно прямой $CD$. Окружность $\gamma$, описанная около треугольника $PQR$, пересекает окружность, описанную около треугольника $A'XY$, в двух точках. Докажите, что их можно назвать $M$ и $N$ так, чтобы прямые $CM$ и $DN$ пересекались на окружности $\gamma$.