Планиметрия

В треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$, $\angle A=15^{\circ}$. На гипотенузу $AB=12$ опущена высота $CH$. Найти $CH$.

Дан треугольник, вырезанный из бумаги. Объяснить, как, не пользуясь чертёжными инструментами, найти точку пересечения его биссектрис.

Дан треугольник, вырезанный из бумаги. Объяснить, как, не пользуясь чертёжными инструментами, найти точку пересечения срединных перпендикуляров к его сторонам. (Срединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая через его середину перпендикулярно данному отрезку).

Из прозрачного листа бумаги вырезан круг. Объясните, как, не используя чертёжных инструментов, найти центр этого круга.

Приведите пример неравностороннего треугольника, который можно (двумя линиями реза) разрезать на три равных треугольника.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CK$, причем $AC>BC$. Доказать, что угол $AKC$ — тупой.

В треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$, причем $\angle BAH > \angle CAH$. Какая сторона больше, $AB$ или $AC$?

Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении $1 : 5$.‍ Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении $1 : 2$.‍ Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

Написать уравнение прямой, проходящей через точки $A(4;~-6)$ и $B(-8;~-12)$, а также найти координаты точки пересечения этой прямой с прямой $2x+y=2$.

Написать уравнение прямой, проходящей через точки $A(-3;~26)$ и $B(5;~-22)$, а также найти координаты точки пересечения этой прямой с прямой $3x+y=5$.

Написать уравнение прямой, проходящей через точки $A(2;~1)$ и $B(-4;~10)$, а также найти координаты точки пересечения этой прямой с прямой $3x-y=5$.

Написать уравнение прямой, проходящей через точки $A(6;~7)$ и $B(-2;~11)$, а также найти координаты точки пересечения этой прямой с прямой $3x-y=4$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:1$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{AM}$,
б) вектор $\overline{CK}$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:2$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{MK}$,
б) вектор $\overline{BK}$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=1:4$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{AK}$,
б) вектор $\overline{KC}$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=2:3$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{KM}$,
б) вектор $\overline{BK}$.

В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AP$, $BQ$ и $CR$. Доказать, что $\overline{AP}+\overline{BQ}+\overline{CR}=\vec 0$.

В треугольнике $ABC$ проведены медианы, пересекающиеся в точке $O$. Доказать, что $\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}=\vec 0$.

В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AP$, $BQ$ и $CR$, пересекающиеся в точке $O$. Доказать, что $\overline{OP}+\overline{OQ}+\overline{OR}=\vec 0$.