Задача
№ 10872
Разные задачи
Ур. 5
Олимпиада «Шаг в будущее», 10 класс, заключительный этап, 2023, вариант 1, задача 6
Для получения фотоснимков небесных тел используются космические зонды — автономные роботы, оснащенные ракетными двигателями, собственными энергетическими установками, системами радиосвязи и навигации, научными приборами. И все это управляется бортовыми компьютерами. Например, благодаря таким зондам успешно выполнена программа исследования Сатурна и его крупнейшего спутника Титана, удивительно похожего на Землю. При изучении одного из спутников Сатурна с радиусом орбиты $R\approx 1{,}2\cdot10^5$ км возникла нештатная ситуация: при пролете зонда сквозь плоскость колец Сатурна бортовая поворотная платформа с телекамерами была заклинена частицами этих колец. В результате смогли получить четкие снимки только одной стороны спутника. Для получения снимков обратной стороны спутника было принято решение продолжить полет зонда и встретить спутник в другой точке пространства, для чего пришлось скорректировать скорость движения зонда.
Рассмотрим упрощенную модель возникшей ситуации. Траекторию движения спутника (орбиту) вокруг Сатурна (точка $O$) считаем круговой с радиусом $R=1{,}2\cdot10^5$ км, скорость движения спутника постоянна и равна $V_T=3{,}27$ км/с. Проекцию зонда на плоскость орбиты назовем подзондовой точкой. Скорость движения подзондовой точки постоянна и равна $V_1=6$ км/с, а ее траекторию в плоскости орбиты условно считаем прямой, пересекающей окружность в точках $C$ и $D$. Согласно заложенной программе, съемка поверхности спутника зондом осуществляется в моменты их наибольшего сближения, которые соответствуют моментам пересечения траектории подзондовой точки с орбитой спутника (точки $C$ и $D$). Когда спутник (точка $S$) оказывается строго на прямой между центром Сатурна (точка $O$) и подзондовой точкой (точка $B$), запускается таймер ($t_0=0$). При этом спутник и подзондовая точка встречаются в точке $C$ через время $t=2\cdot10^4$ с. После съемки над точкой $C$ скорость зонда меняется так, чтобы над точкой $D$ оказаться одновременно со спутником для фотографирования его обратной стороны. Скорость подзондовой точки на участке $CD$ постоянна.
Определите расстояние между подзондовой точкой и спутником (считая его материальной точкой) в начальный момент времени $t_0$, а также скорость подзондовой точки $V_2$ на участке $CD$. В расчетах используйте приближенные значения скорости спутника и числа $\pi$ — округлите их до целых значений.
Рассмотрим упрощенную модель возникшей ситуации. Траекторию движения спутника (орбиту) вокруг Сатурна (точка $O$) считаем круговой с радиусом $R=1{,}2\cdot10^5$ км, скорость движения спутника постоянна и равна $V_T=3{,}27$ км/с. Проекцию зонда на плоскость орбиты назовем подзондовой точкой. Скорость движения подзондовой точки постоянна и равна $V_1=6$ км/с, а ее траекторию в плоскости орбиты условно считаем прямой, пересекающей окружность в точках $C$ и $D$. Согласно заложенной программе, съемка поверхности спутника зондом осуществляется в моменты их наибольшего сближения, которые соответствуют моментам пересечения траектории подзондовой точки с орбитой спутника (точки $C$ и $D$). Когда спутник (точка $S$) оказывается строго на прямой между центром Сатурна (точка $O$) и подзондовой точкой (точка $B$), запускается таймер ($t_0=0$). При этом спутник и подзондовая точка встречаются в точке $C$ через время $t=2\cdot10^4$ с. После съемки над точкой $C$ скорость зонда меняется так, чтобы над точкой $D$ оказаться одновременно со спутником для фотографирования его обратной стороны. Скорость подзондовой точки на участке $CD$ постоянна.
Определите расстояние между подзондовой точкой и спутником (считая его материальной точкой) в начальный момент времени $t_0$, а также скорость подзондовой точки $V_2$ на участке $CD$. В расчетах используйте приближенные значения скорости спутника и числа $\pi$ — округлите их до целых значений.
Ответ:
Решение: