Задача
№ 10951
Координатно-векторный метод
Ур. 5
Олимпиада «Шаг в будущее», 11 класс, заключительный этап, 2026, задача 6
В ходе исследований планет солнечной системы космический аппарат (КА) выполняет гравитационный маневр вблизи Сатурна. Вокруг планеты установлена зона безопасности полета для КА, учитывающая кольца и верхние слои атмосферы.
Для упрощения моделирования, будем считать, что маневр происходит в одной плоскости. Введем декартову систему координат на плоскости $xOy$. Центр масс планеты совпадает с началом координат $O(0;0)$.
Граница зоны безопасности — окружность радиуса $R=140$ тыс. км с центром в точке $O$. Траектория аппарата в плоскости маневра симметрична относительно оси $Oy$ и обладает следующим свойством: для любой точки траектории $P(x;y)$ расстояние до центра планеты $O$ равно расстоянию до прямой $L$, заданной уравнением $y=2R$. Аппарат движется так, что точка его максимального сближения с центром планеты лежит на оси $Oy$ и находится точно на границе зоны безопасности.
В некоторый момент времени телеметрия фиксирует положение аппарата в точке $S$, расстояние от которой до центра планеты составляет $r=175$ тыс. км. Специальная антенна аппарата ориентирована строго по вектору мгновенной скорости (направлена по касательной к траектории в точке $S$). Для ретрансляции данных используется спутник-ретранслятор $T$, расположенный на оси симметрии траектории в точке пересечения с линией сигнала антенны.
Определите расстояние от аппарата до спутника-ретранслятора $T$ в момент фиксации телеметрии. Ответ запишите в тысячах километров.
Для упрощения моделирования, будем считать, что маневр происходит в одной плоскости. Введем декартову систему координат на плоскости $xOy$. Центр масс планеты совпадает с началом координат $O(0;0)$.
Граница зоны безопасности — окружность радиуса $R=140$ тыс. км с центром в точке $O$. Траектория аппарата в плоскости маневра симметрична относительно оси $Oy$ и обладает следующим свойством: для любой точки траектории $P(x;y)$ расстояние до центра планеты $O$ равно расстоянию до прямой $L$, заданной уравнением $y=2R$. Аппарат движется так, что точка его максимального сближения с центром планеты лежит на оси $Oy$ и находится точно на границе зоны безопасности.
В некоторый момент времени телеметрия фиксирует положение аппарата в точке $S$, расстояние от которой до центра планеты составляет $r=175$ тыс. км. Специальная антенна аппарата ориентирована строго по вектору мгновенной скорости (направлена по касательной к траектории в точке $S$). Для ретрансляции данных используется спутник-ретранслятор $T$, расположенный на оси симметрии траектории в точке пересечения с линией сигнала антенны.
Определите расстояние от аппарата до спутника-ретранслятора $T$ в момент фиксации телеметрии. Ответ запишите в тысячах километров.
Ответ:
Решение: