Олимпиада «Шаг в будущее»

Найдите остаток от деления числа $\dfrac{90!}{11^8}$ на 11.

Графом называют конечное множество точек вместе с линиями, соединяющими некоторые из этих точек. Точки называют вершинами графа, а соединяющие их линии — рёбрами (некоторые рёбра могут быть замкнутыми линиями, соединяющими вершину с собой).
На координатной плоскости задан отрезок \[ x=0,\quad |y|\leqslant5 \] и окружности \[ (x-3)^2+y^2=25,\quad (x+3)^2+y^2=25,\quad (x-7)^2+y^2=1,\quad (x-6)^2+y^2=4. \] Вершинами графа являются концы отрезка, а также точки пересечения и касания этих окружностей. Рёбрами этого графа являются части указанных выше линий, соединяющих его вершины.
Сколькими способами можно начертить все ребра этого графа одним росчерком, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя более одного раза по одному и тому же ребру?

Отрезки $AD$ и $AE$ являются соответственно медианой и высотой треугольника $ABC$, точка $O$ — центр вписанной в этот треугольник окружности, $F$ — точка пересечения прямых $AE$ и $OD$. Найдите отношение периметра треугольника $ABC$ к стороне $BC$, если $FE=3AF$.

Шестьдесят четыре одинаковых кубических контейнера с жидким азотом, $n$ из которых оказались изначально замороженными (азот в них перешёл в твёрдое состояние), плотно сомкнуты и сложены в большой куб размера $4\times4\times4$. В силу контакта по общим граням с замороженными контейнерами процесс замерзания поэтапно распространяется на соседние емкости. На каждом этапе заморозка охватывает только те контейнеры, которые в данный момент имеют общие грани не менее чем с $m$ уже полностью замёрзшими соседями.

1. Докажите, что при $n=8$ и $m=3$ при любом начальном расположении замороженных контейнеров полное замерзание всех контейнеров никогда не произойдет.
2. При $n=6$ и $m=2$ укажите какое-либо расположение изначально замороженных контейнеров в большом кубе, при котором все контейнеры замёрзнут не более чем через 8 этапов распространения процесса заморозки. Ответ обоснуйте.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$. Сечение призмы плоскостью, проходящей через точку $C_1$ параллельно диагонали ромба $BD$, наклонено к плоскости основания призмы под углом $\operatorname{arctg}\dfrac{4}{3}$. Найдите отношение высоты призмы к диагонали ромба $AC$, если отношение объемов частей, на которые плоскость сечения делит призму, равно $25:47$, причем среди вершин части призмы меньшего объема есть точка $C$.

В ходе исследований планет солнечной системы космический аппарат (КА) выполняет гравитационный маневр вблизи Сатурна. Вокруг планеты установлена зона безопасности полета для КА, учитывающая кольца и верхние слои атмосферы.
Для упрощения моделирования, будем считать, что маневр происходит в одной плоскости. Введем декартову систему координат на плоскости $xOy$. Центр масс планеты совпадает с началом координат $O(0;0)$.
Граница зоны безопасности — окружность радиуса $R=140$ тыс. км с центром в точке $O$. Траектория аппарата в плоскости маневра симметрична относительно оси $Oy$ и обладает следующим свойством: для любой точки траектории $P(x;y)$ расстояние до центра планеты $O$ равно расстоянию до прямой $L$, заданной уравнением $y=2R$. Аппарат движется так, что точка его максимального сближения с центром планеты лежит на оси $Oy$ и находится точно на границе зоны безопасности.
В некоторый момент времени телеметрия фиксирует положение аппарата в точке $S$, расстояние от которой до центра планеты составляет $r=175$ тыс. км. Специальная антенна аппарата ориентирована строго по вектору мгновенной скорости (направлена по касательной к траектории в точке $S$). Для ретрансляции данных используется спутник-ретранслятор $T$, расположенный на оси симметрии траектории в точке пересечения с линией сигнала антенны.
Определите расстояние от аппарата до спутника-ретранслятора $T$ в момент фиксации телеметрии. Ответ запишите в тысячах километров.