Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 385
Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Известно, что $AB=BC=CD=DE=1$. Докажите, что $AD\lt 2$.
Ответ:
Решение:
Периметр треугольника $ABC$ равен 2. На стороне $AC$ отмечена точка $P$, а на отрезке $CP$ — точка $Q$ так, что $2AP=AB$ и $2QC=BC$. Докажите, что периметр треугольника $BPQ$ больше 1.
Ответ:
Решение:
Точка $N$ — середина стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$, а точка $M$ на стороне $AB$ такова, что $CM\perp BD$. Докажите, что если $BM\gt MA$, то $2BC+AD\gt 2CN$.
Ответ:
Решение:
Точка $E$ — середина диагонали $BD$ трапеции $ABCD$. На основании $AD$ отмечена такая точка $F$, что $\angle AFE=\angle BAD$. Точка $K$ симметрична точке $B$ относительно $F$. Докажите, что $AC+CE\geqslant EK$.
Ответ:
Решение:
Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ таков, что \[ \angle ACB=\angle CBD=\angle DCE=\angle BDC=30^\circ, \] \[ AB+BC+CD+DE=AD+BE. \] Чему может быть равен угол $A$ этого пятиугольника?
Ответ:
Решение:
На биссектрисе угла $ABC$ отмечена точка $D$. На отрезке $AB$ отмечена точка $E$, а на отрезке $BC$ — точка $F$, причём $AB=DE$ и $BC=DF$. Докажите, что из отрезков $AD$, $CD$ и $EF$ можно сложить треугольник.
Ответ:
Решение:
На каждой стороне выпуклого 100-угольника отметили по две точки, делящие эту сторону на три равные части. После этого всё, кроме отмеченных точек, стёрли. Докажите, что по отмеченным точкам можно однозначно восстановить исходный 100-угольник.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$. На сторонах $AB$ и $BC$ и продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбраны соответственно точки $K$, $L$ и $M$ так, что треугольники $KLM$ и $BCA$ равны (именно с таким соответствием вершин). Отрезок $KM$ пересекает отрезок $AD$ в точке $N$. Докажите, что $LN\parallel AB$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) \[AD=2,\quad BC=1,\quad \angle ABD=90^\circ.\] Найдите сторону $CD$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна диагонали $BD$. Точка $M$ — середина диагонали $AC$. Прямая $BM$ пересекает отрезок $CD$ в точке $E$. Докажите, что $BE=CE$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ больше боковой стороны $CD$. Биссектриса угла $D$ пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Докажите, что $AK\gt KB$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ диагональ $BD$ является биссектрисой угла $ADC$. На основаниях $BC$ и $AD$ выбрали точки $X$ и $Y$ соответственно таким образом, что $AX=BD$ и $AY=CD$. Оказалось, что $\angle BCD=130^\circ$. Найдите величину угла $AXY$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$, где $AD\parallel BC$, угол $B$ равен сумме углов $A$ и $D$. На продолжении отрезка $CD$ за вершину $D$ отложен отрезок $DK=BC$. Докажите, что $AK=BK$.
Ответ:
Решение:
Учительница нарисовала на доске прямоугольник $ABCD$. Ученик Петя разделил этот прямоугольник на два прямоугольника прямой, параллельной стороне $AB$. Оказалось, что площади этих частей относятся как $1:2$, а периметры как $3:5$ (в том же порядке). Ученик Вася разделил этот прямоугольник на две части прямой, параллельной стороне $BC$. Площади новых частей тоже относятся как $1:2$. Как относятся их периметры?
Ответ:
Решение:
Игорь нарисовал на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см архипелаг, в котором каждый остров имеет форму многоугольника, составленного из клеток, и разные острова не имеют общих точек. Может ли отношение суммарной длины береговой линии всех островов к их суммарной площади равняться:
1. 5;
2. 3,99?
1. 5;
2. 3,99?
Ответ:
Решение:
Квадраты со сторонами 11, 9, 7 и 5 расположены примерно так, как на рисунке. Оказалось, что площадь серых частей в два раза больше, чем площадь черных частей. Найдите площадь белых частей.
Ответ:
Решение:
Внутри стороны $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ нашлась такая точка $E$, что прямая $AE$ делит четырёхугольник на две равные по площади части. Какая из вершин четырехугольника находится дальше всех от прямой $AE$?
Ответ:
Решение:
Шестиугольник, все углы которого меньше 180 градусов, таков, что каждый треугольник, образованный тремя идущими подряд его вершинами, имеет площадь 1. Докажите, что площадь этого шестиугольника не меньше 6.
Ответ:
Решение:
Через центр прямоугольника провели две взаимно перпендикулярные прямые, не параллельные его сторонам. Оказалось, что они делят прямоугольник на четыре части равной площади. Может ли этот прямоугольник не быть квадратом?
Ответ:
Решение:
Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекают стороны $CD$ и $DA$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Оказалось, что $\angle APB=\angle BQC$. Внутри четырёхугольника выбрана точка $X$ такая, что $QX\parallel AB$ и $PX\parallel BC$. Докажите, что прямая $BX$ делит диагональ $AC$ пополам.
Ответ:
Решение: