Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 561
Империя Горных гномов состоит из $2023$ королевств, в каждом из королевств гномы добывают золото и алмазы. Верно ли, что всегда можно выбрать такие $1012$ королевств, которые производят не менее $50\%$ золота и не менее $50\%$ алмазов (от общего производства в империи)?
Ответ:
Решение:
Назовем словом размах разность между наибольшим и наименьшим числом в наборе чисел $(x_1,\ldots,x_n)$. Например, размах набора $(4,1,7,1,3)$ равен $6$ (разность $7$ и $1$).
Дан набор $2025$ чисел $(x_1,\ldots,x_{2025})$ c размахом $1$. Найдите наибольший возможный размах у набора чисел $(y_1,\ldots,y_{2025})$, где \[ y_1=x_1,\quad y_2=\dfrac{x_1+x_2}{2},\quad y_3=\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\quad\ldots,\quad y_{2025}=\dfrac{x_1+\ldots+x_{2025}}{2025}. \]
Дан набор $2025$ чисел $(x_1,\ldots,x_{2025})$ c размахом $1$. Найдите наибольший возможный размах у набора чисел $(y_1,\ldots,y_{2025})$, где \[ y_1=x_1,\quad y_2=\dfrac{x_1+x_2}{2},\quad y_3=\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\quad\ldots,\quad y_{2025}=\dfrac{x_1+\ldots+x_{2025}}{2025}. \]
Ответ:
Решение:
Алиса и Боря по очереди зачёркивают буквы в надписи «Покори Воробьевы горы». За ход разрешается зачеркнуть одну букву или несколько одинаковых букв (большие и маленькие буквы не различаются). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Алиса ходит первой. Есть ли у одного из игроков стратегия, гарантированно позволяющая выиграть?
Ответ:
Решение:
В Империи Вестероса было 1000 городов и 2017 дорог (каждая дорога соединяет какие-то два города). Из каждого города можно было проехать в каждый. Однажды злой волшебник заколдовал $N$ дорог, и ездить по ним стало нельзя. Образовалось 7 королевств, так, что в каждом королевстве можно добраться из любого города в любой по дорогам, а из одного королевства в другое по дорогам добраться нельзя. При каком наибольшем $N$ это возможно?
Ответ:
Решение:
В компьютерном центре стоит 200 компьютеров, некоторые из них (попарно) соединены кабелями, всего использовано 345 кабелей. Будем называть «кластером» множество компьютеров, такое, что из любого компьютера этого множества сигнал по проводам может добраться до всех остальных. В начале все компьютеры образовывали один кластер. Но однажды ночью злой хакер перерезал несколько кабелей так, что образовалось 8 кластеров. Найдите наибольшее возможное число кабелей, которые были перерезаны.
Ответ:
Решение:
В турнире по волейболу участвовало 20 команд. Каждая команда играла со всеми остальными по одному разу, за выигрыш начислялось 3 очка, за проигрыш очки не начислялись (ничьих в волейболе нет). Очки, набранные командами, образуют убывающую арифметическую прогрессию. Сколько очков набрала команда, занявшая второе место?
Ответ:
Решение:
Английский клуб посещают $20$ джентльменов. Некоторые из них знакомы (знакомства взаимные, т. е. если $A$ знает $B$, то и $B$ знает $A$). Известно, что в клубе нет трех попарно знакомых между собой джентльменов. Однажды джентльмены пришли в клуб, и каждая пара знакомых пожала друг другу руки (один раз). Какое наибольшее число рукопожатий могло быть сделано?
Ответ:
Решение:
В городе $10$ проспектов и $23$ улицы, которые образуют прямоугольную сетку: все улицы параллельны между собой и все проспекты перпендикулярны улицам (см. рис.). Точку пересечения улицы и проспекта будем называть «перекрёстком». Городские власти проводят дорожные работы на некоторых участках дороги (отрезок улицы или проспекта между соседними перекрёстками). Во время ремонта ездить по этому участку нельзя. Какое наибольшее количество участков можно ремонтировать одновременно, чтобы при этом из любого перекрестка можно было проехать на любой другой?
Ответ:
Решение:
В шахматном кружке провели турнир — каждый сыграл с каждым по одной партии. Оказалось, что для любой тройки участников среди результатов их взаимных партий есть хотя бы одна ничья и хотя бы одна игра с победителем. Какое наибольшее число игроков могло участвовать в турнире?
Ответ:
Решение:
К середине XXII века человечество освоило $100$ обитаемых планет в других звездных системах. От каждой планеты расходится $40$ гиперпространственных порталов, и к каждой планете ведёт $40$ порталов от других планет. Все порталы строго односторонние, т. е. если есть портал, ведущий из $A$ в $B$, то нет портала, ведущего из $B$ в $A$. Мистер Риггз хочет добраться с Галатеи-37 на Пандору за наименьшее число гиперпространственных прыжков. Сколько прыжков ему может потребоваться (укажите все варианты)?
Ответ:
Решение:
Футбольный мяч шьётся из 32 кусочков кожи: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый чёрный кусочек граничит только с белыми кусочками, каждый белый кусочек граничит с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько чёрных кусочков нужно для изготовления мяча?
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел, кратных $3$, не кратных $5$ и принадлежащих отрезку $[1200;2020]$.
Ответ:
Решение:
Уходя на работу, мама поручила Мише, Пете и Васе: а) подмести пол в прихожей; б) помыть посуду; в) купить хлеба; г) заплатить за электричество; д) вынести мусор; е) пропылесосить ковёр в гостиной. Сколькими различными способами они могут распределить задания так, чтобы каждое задание делал кто-то один из ребят и при условии, чтобы каждый что-нибудь делал?
Ответ:
Решение:
Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности $12, 13, 14, 15, 16, 17, \ldots$, если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа $16=4^2$, $25=5^2$, $27=3^3$, $\ldots$)?
Ответ:
Решение:
Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности $6, 7, 8, 9, 10, \ldots$, если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа $8=2^3$, $9=3^2$, $16=4^2$, $\ldots$)?
Ответ:
Решение:
На кухне лежит пакет с пакетами. Каждый из пакетов либо пустой (не содержит других пакетов), либо содержит ровно $5$ пакетов (в некоторых из них могут быть другие пакеты). Определите, сколько всего пакетов, если известно, что $101$ пакет пустой.
Ответ:
Решение:
На доске написаны числа $1, 2, \ldots, 2015$. Над ними последовательно проделывают 2014 операций, причём $n$-я по счёту операция состоит в следующем: произвольные числа $a$ и $b$ (из написанных на доске) стираются и дописывается одно число, равное $ab/n$. Что останется на доске в конце?
Ответ:
Решение:
Квадратное табло состоит из $2012\times2012$ ячеек, каждая из которых может светиться или быть погашена. Известно, что можно переключать состояние на противоположное одновременно для всех ячеек на любой горизонтали, на любой вертикали и на любой (не обязательно большой) диагонали. Гарантированно ли (независимо от того, какие ячейки в начальный момент светились, а какие были погашены) такими переключениями можно перевести табло в состояние, когда все ячейки погашены?
Ответ:
Решение:
На доске написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выбираем числа $a$ и $b$ и заменяем их на числа \[ 5a-3b\quad\text{и}\quad 7a-5b. \] Вначале были записаны числа \[ 15, 16, 17, \ldots, 40. \] Можно ли через конечное число шагов получить на доске числа $2001, 2002, 2003, \ldots, 2026$?
Ответ:
Решение:
На доске были написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выбираем числа $a$ и $b$ и заменяем их на числа \[ 5a-3b\quad\text{и}\quad 7a-5b. \] Вначале на доске были записаны числа \[ 15, 16, 17, \ldots, 40. \] Можно ли через конечное число шагов получить на доске числа $2001, 2002, 2003, \ldots, 2026$?
Ответ:
Решение: